Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27476 / 9013
↖ ↑ ↗
← N 78.290471°
W 29.069824°		 ← 123.97 m → N 78.290471°
W 29.064331°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
N 78.289356°
W 29.069824°		 ← 123.98 m →
15 371 m²		 N 78.289356°
W 29.064331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419258117675781 y=0.137535095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419258117675781 × 216)
    floor (0.419258117675781 × 65536)
    floor (27476.5)     		tx = 27476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137535095214844 × 216)
    floor (0.137535095214844 × 65536)
    floor (9013.5)     		ty = 9013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27476 / 9013 ti = "16/27476/9013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27476/9013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27476 ÷ 216
    27476 ÷ 65536     		x = 0.41925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9013 ÷ 216
    9013 ÷ 65536     		y = 0.137527465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137527465820312 × 2 - 1) × π
    0.724945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27748210094887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50736415} λ = -0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27748210094887))-π/2
    2×atan(9.75209468038365)-π/2
    2×1.46861140944385-π/2
    2.93722281888771-1.57079632675     		φ = 1.36642649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36642649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.290471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27476 KachelY 9013 -0.50736415 1.36642649 -29.069824 78.290471
    Oben rechts KachelX + 1 27477 KachelY 9013 -0.50726827 1.36642649 -29.064331 78.290471
    Unten links KachelX 27476 KachelY + 1 9014 -0.50736415 1.36640703 -29.069824 78.289356
    Unten rechts KachelX + 1 27477 KachelY + 1 9014 -0.50726827 1.36640703 -29.064331 78.289356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36642649-1.36640703) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dl = 123.979660000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36642649-1.36640703) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dr = 123.979660000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50736415--0.50726827) × cos(1.36642649) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.20295015131878 × 6371000     		do = 123.972400299363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50736415--0.50726827) × cos(1.36640703) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.202969206299666 × 6371000     		du = 123.984040062639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36642649)-sin(1.36640703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20295015131878-0.202969206299666)×R²
    abs(-0.50726827--0.50736415)×1.90549808859741e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.90549808859741e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.90549808859741e-05×40589641000000     		ar = 15370.7775860103m²