Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27475 / 7221
↖ ↑ ↗
← N 80.128928°
W 29.075317°		 ← 104.71 m → N 80.128928°
W 29.069824°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 80.127986°
W 29.075317°		 ← 104.72 m →
10 968 m²		 N 80.127986°
W 29.069824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419242858886719 y=0.110191345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419242858886719 × 216)
    floor (0.419242858886719 × 65536)
    floor (27475.5)     		tx = 27475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110191345214844 × 216)
    floor (0.110191345214844 × 65536)
    floor (7221.5)     		ty = 7221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27475 / 7221 ti = "16/27475/7221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27475/7221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27475 ÷ 216
    27475 ÷ 65536     		x = 0.419235229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7221 ÷ 216
    7221 ÷ 65536     		y = 0.110183715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419235229492188 × 2 - 1) × π
    -0.161529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50746002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110183715820312 × 2 - 1) × π
    0.779632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44928794918715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50746002} λ = -0.50746002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44928794918715))-π/2
    2×atan(11.5800981645659)-π/2
    2×1.48465497314625-π/2
    2.96930994629251-1.57079632675     		φ = 1.39851362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50746002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.075317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39851362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.128928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27475 KachelY 7221 -0.50746002 1.39851362 -29.075317 80.128928
    Oben rechts KachelX + 1 27476 KachelY 7221 -0.50736415 1.39851362 -29.069824 80.128928
    Unten links KachelX 27475 KachelY + 1 7222 -0.50746002 1.39849718 -29.075317 80.127986
    Unten rechts KachelX + 1 27476 KachelY + 1 7222 -0.50736415 1.39849718 -29.069824 80.127986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39851362-1.39849718) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39851362-1.39849718) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50746002--0.50736415) × cos(1.39851362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171431707374211 × 6371000     		do = 104.708390254385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50746002--0.50736415) × cos(1.39849718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171447903973378 × 6371000     		du = 104.718282939071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39851362)-sin(1.39849718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171431707374211-0.171447903973378)×R²
    abs(-0.50736415--0.50746002)×1.61965991667679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61965991667679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61965991667679e-05×40589641000000     		ar = 10967.5952930391m²