Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27474 / 7185
↖ ↑ ↗
← N 80.162771°
W 29.080810°		 ← 104.35 m → N 80.162771°
W 29.075317°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 80.161833°
W 29.080810°		 ← 104.36 m →
10 890 m²		 N 80.161833°
W 29.075317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419227600097656 y=0.109642028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419227600097656 × 216)
    floor (0.419227600097656 × 65536)
    floor (27474.5)     		tx = 27474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109642028808594 × 216)
    floor (0.109642028808594 × 65536)
    floor (7185.5)     		ty = 7185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27474 / 7185 ti = "16/27474/7185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27474/7185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27474 ÷ 216
    27474 ÷ 65536     		x = 0.419219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7185 ÷ 216
    7185 ÷ 65536     		y = 0.109634399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.16156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50755589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109634399414062 × 2 - 1) × π
    0.780731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45273940595979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50755589} λ = -0.50755589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45273940595979))-π/2
    2×atan(11.6201354264978)-π/2
    2×1.48495031527406-π/2
    2.96990063054812-1.57079632675     		φ = 1.39910430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50755589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.080810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39910430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.162771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27474 KachelY 7185 -0.50755589 1.39910430 -29.080810 80.162771
    Oben rechts KachelX + 1 27475 KachelY 7185 -0.50746002 1.39910430 -29.075317 80.162771
    Unten links KachelX 27474 KachelY + 1 7186 -0.50755589 1.39908792 -29.080810 80.161833
    Unten rechts KachelX + 1 27475 KachelY + 1 7186 -0.50746002 1.39908792 -29.075317 80.161833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39910430-1.39908792) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39910430-1.39908792) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50755589--0.50746002) × cos(1.39910430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170849741924881 × 6371000     		do = 104.352932875371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50755589--0.50746002) × cos(1.39908792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170865881068378 × 6371000     		du = 104.362790466838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39910430)-sin(1.39908792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170849741924881-0.170865881068378)×R²
    abs(-0.50746002--0.50755589)×1.61391434979063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61391434979063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61391434979063e-05×40589641000000     		ar = 10890.4712836992m²