Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27473 / 8739
↖ ↑ ↗
← N 78.592040°
W 29.086304°		 ← 120.82 m → N 78.592040°
W 29.080810°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
N 78.590953°
W 29.086304°		 ← 120.83 m →
14 603 m²		 N 78.590953°
W 29.080810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419212341308594 y=0.133354187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419212341308594 × 216)
    floor (0.419212341308594 × 65536)
    floor (27473.5)     		tx = 27473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133354187011719 × 216)
    floor (0.133354187011719 × 65536)
    floor (8739.5)     		ty = 8739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27473 / 8739 ti = "16/27473/8739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27473/8739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27473 ÷ 216
    27473 ÷ 65536     		x = 0.419204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8739 ÷ 216
    8739 ÷ 65536     		y = 0.133346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419204711914062 × 2 - 1) × π
    -0.161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50765177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133346557617188 × 2 - 1) × π
    0.733306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30375152194066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50765177} λ = -0.50765177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30375152194066))-π/2
    2×atan(10.0116710948943)-π/2
    2×1.47124309632185-π/2
    2.94248619264369-1.57079632675     		φ = 1.37168987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50765177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.086304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37168987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.592040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27473 KachelY 8739 -0.50765177 1.37168987 -29.086304 78.592040
    Oben rechts KachelX + 1 27474 KachelY 8739 -0.50755589 1.37168987 -29.080810 78.592040
    Unten links KachelX 27473 KachelY + 1 8740 -0.50765177 1.37167090 -29.086304 78.590953
    Unten rechts KachelX + 1 27474 KachelY + 1 8740 -0.50755589 1.37167090 -29.080810 78.590953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37168987-1.37167090) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37168987-1.37167090) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50765177--0.50755589) × cos(1.37168987) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197793519769691 × 6371000     		do = 120.822464285646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50765177--0.50755589) × cos(1.37167090) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197812114957208 × 6371000     		du = 120.833823183461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37168987)-sin(1.37167090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197793519769691-0.197812114957208)×R²
    abs(-0.50755589--0.50765177)×1.85951875162904e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85951875162904e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85951875162904e-05×40589641000000     		ar = 14603.032088236m²