Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27473 / 7187
↖ ↑ ↗
← N 80.160894°
W 29.086304°		 ← 104.38 m → N 80.160894°
W 29.080810°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 80.159956°
W 29.086304°		 ← 104.39 m →
10 894 m²		 N 80.159956°
W 29.080810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419212341308594 y=0.109672546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419212341308594 × 216)
    floor (0.419212341308594 × 65536)
    floor (27473.5)     		tx = 27473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109672546386719 × 216)
    floor (0.109672546386719 × 65536)
    floor (7187.5)     		ty = 7187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27473 / 7187 ti = "16/27473/7187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27473/7187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27473 ÷ 216
    27473 ÷ 65536     		x = 0.419204711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7187 ÷ 216
    7187 ÷ 65536     		y = 0.109664916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419204711914062 × 2 - 1) × π
    -0.161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50765177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109664916992188 × 2 - 1) × π
    0.780670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45254765836131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50765177} λ = -0.50765177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45254765836131))-π/2
    2×atan(11.6179075070417)-π/2
    2×1.48493393371314-π/2
    2.96986786742627-1.57079632675     		φ = 1.39907154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50765177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.086304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39907154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.160894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27473 KachelY 7187 -0.50765177 1.39907154 -29.086304 80.160894
    Oben rechts KachelX + 1 27474 KachelY 7187 -0.50755589 1.39907154 -29.080810 80.160894
    Unten links KachelX 27473 KachelY + 1 7188 -0.50765177 1.39905516 -29.086304 80.159956
    Unten rechts KachelX + 1 27474 KachelY + 1 7188 -0.50755589 1.39905516 -29.080810 80.159956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39907154-1.39905516) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dl = 104.356979999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39907154-1.39905516) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dr = 104.356979999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50765177--0.50755589) × cos(1.39907154) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.170882020166032 × 6371000     		do = 104.383534923742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50765177--0.50755589) × cos(1.39905516) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.170898159217837 × 6371000     		du = 104.393393487423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39907154)-sin(1.39905516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170882020166032-0.170898159217837)×R²
    abs(-0.50755589--0.50765177)×1.61390518051974e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.61390518051974e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.61390518051974e-05×40589641000000     		ar = 10893.6648713806m²