Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27472 / 8750
↖ ↑ ↗
← N 78.580082°
W 29.091797°		 ← 120.93 m → N 78.580082°
W 29.086304°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
N 78.578995°
W 29.091797°		 ← 120.95 m →
14 624 m²		 N 78.578995°
W 29.086304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419197082519531 y=0.133522033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419197082519531 × 216)
    floor (0.419197082519531 × 65536)
    floor (27472.5)     		tx = 27472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133522033691406 × 216)
    floor (0.133522033691406 × 65536)
    floor (8750.5)     		ty = 8750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27472 / 8750 ti = "16/27472/8750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27472/8750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27472 ÷ 216
    27472 ÷ 65536     		x = 0.419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8750 ÷ 216
    8750 ÷ 65536     		y = 0.133514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133514404296875 × 2 - 1) × π
    0.73297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30269691014902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50774764} λ = -0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30269691014902))-π/2
    2×atan(10.0011182340674)-π/2
    2×1.47113874470249-π/2
    2.94227748940498-1.57079632675     		φ = 1.37148116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37148116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.580082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27472 KachelY 8750 -0.50774764 1.37148116 -29.091797 78.580082
    Oben rechts KachelX + 1 27473 KachelY 8750 -0.50765177 1.37148116 -29.086304 78.580082
    Unten links KachelX 27472 KachelY + 1 8751 -0.50774764 1.37146218 -29.091797 78.578995
    Unten rechts KachelX + 1 27473 KachelY + 1 8751 -0.50765177 1.37146218 -29.086304 78.578995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37148116-1.37146218) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37148116-1.37146218) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50774764--0.50765177) × cos(1.37148116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197998102124197 × 6371000     		do = 120.934819260668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50774764--0.50765177) × cos(1.37146218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198016706330148 × 6371000     		du = 120.946182482133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37148116)-sin(1.37146218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197998102124197-0.198016706330148)×R²
    abs(-0.50765177--0.50774764)×1.86042059513447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86042059513447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86042059513447e-05×40589641000000     		ar = 14624.3164521821m²