Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27472 / 21295
↖ ↑ ↗
← N 53.176412°
W 29.091797°		 ← 366.08 m → N 53.176412°
W 29.086304°		 →
↑
366.14 m
↓
↑
366.14 m
↓
N 53.173119°
W 29.091797°		 ← 366.11 m →
134 041 m²		 N 53.173119°
W 29.086304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419197082519531 y=0.324943542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419197082519531 × 216)
    floor (0.419197082519531 × 65536)
    floor (27472.5)     		tx = 27472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324943542480469 × 216)
    floor (0.324943542480469 × 65536)
    floor (21295.5)     		ty = 21295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27472 / 21295 ti = "16/27472/21295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27472/21295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27472 ÷ 216
    27472 ÷ 65536     		x = 0.419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21295 ÷ 216
    21295 ÷ 65536     		y = 0.324935913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324935913085938 × 2 - 1) × π
    0.350128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09996009868181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50774764} λ = -0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09996009868181))-π/2
    2×atan(3.00404615615347)-π/2
    2×1.24944989744566-π/2
    2.49889979489132-1.57079632675     		φ = 0.92810347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92810347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.176412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27472 KachelY 21295 -0.50774764 0.92810347 -29.091797 53.176412
    Oben rechts KachelX + 1 27473 KachelY 21295 -0.50765177 0.92810347 -29.086304 53.176412
    Unten links KachelX 27472 KachelY + 1 21296 -0.50774764 0.92804600 -29.091797 53.173119
    Unten rechts KachelX + 1 27473 KachelY + 1 21296 -0.50765177 0.92804600 -29.086304 53.173119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92810347-0.92804600) × R
    5.74700000000039e-05 × 6371000     		dl = 366.141370000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92810347-0.92804600) × R
    5.74700000000039e-05 × 6371000     		dr = 366.141370000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50774764--0.50765177) × cos(0.92810347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599353202490314 × 6371000     		do = 366.077605991409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50774764--0.50765177) × cos(0.92804600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599399205355641 × 6371000     		du = 366.105703978936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92810347)-sin(0.92804600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599353202490314-0.599399205355641)×R²
    abs(-0.50765177--0.50774764)×4.60028653275213e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60028653275213e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60028653275213e-05×40589641000000     		ar = 134041.300139018m²