Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27471 / 8751
↖ ↑ ↗
← N 78.578995°
W 29.097290°		 ← 120.95 m → N 78.578995°
W 29.091797°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 78.577907°
W 29.097290°		 ← 120.96 m →
14 633 m²		 N 78.577907°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419181823730469 y=0.133537292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419181823730469 × 216)
    floor (0.419181823730469 × 65536)
    floor (27471.5)     		tx = 27471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133537292480469 × 216)
    floor (0.133537292480469 × 65536)
    floor (8751.5)     		ty = 8751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27471 / 8751 ti = "16/27471/8751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27471/8751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27471 ÷ 216
    27471 ÷ 65536     		x = 0.419174194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8751 ÷ 216
    8751 ÷ 65536     		y = 0.133529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419174194335938 × 2 - 1) × π
    -0.161651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50784351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133529663085938 × 2 - 1) × π
    0.732940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30260103634978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50784351} λ = -0.50784351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30260103634978))-π/2
    2×atan(10.0001594348283)-π/2
    2×1.47112925284147-π/2
    2.94225850568295-1.57079632675     		φ = 1.37146218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50784351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.097290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37146218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.578995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27471 KachelY 8751 -0.50784351 1.37146218 -29.097290 78.578995
    Oben rechts KachelX + 1 27472 KachelY 8751 -0.50774764 1.37146218 -29.091797 78.578995
    Unten links KachelX 27471 KachelY + 1 8752 -0.50784351 1.37144319 -29.097290 78.577907
    Unten rechts KachelX + 1 27472 KachelY + 1 8752 -0.50774764 1.37144319 -29.091797 78.577907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37146218-1.37144319) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37146218-1.37144319) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50784351--0.50774764) × cos(1.37146218) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.198016706330148 × 6371000     		do = 120.946182482273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50784351--0.50774764) × cos(1.37144319) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.198035320266714 × 6371000     		du = 120.95755164708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37146218)-sin(1.37144319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198016706330148-0.198035320266714)×R²
    abs(-0.50774764--0.50784351)×1.86139365665194e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.86139365665194e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.86139365665194e-05×40589641000000     		ar = 14633.3967132829m²