Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27471 / 7253
↖ ↑ ↗
← N 80.098748°
W 29.097290°		 ← 105.03 m → N 80.098748°
W 29.091797°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 80.097803°
W 29.097290°		 ← 105.04 m →
11 034 m²		 N 80.097803°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419181823730469 y=0.110679626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419181823730469 × 216)
    floor (0.419181823730469 × 65536)
    floor (27471.5)     		tx = 27471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110679626464844 × 216)
    floor (0.110679626464844 × 65536)
    floor (7253.5)     		ty = 7253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27471 / 7253 ti = "16/27471/7253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27471/7253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27471 ÷ 216
    27471 ÷ 65536     		x = 0.419174194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7253 ÷ 216
    7253 ÷ 65536     		y = 0.110671997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419174194335938 × 2 - 1) × π
    -0.161651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50784351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110671997070312 × 2 - 1) × π
    0.778656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44621998761147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50784351} λ = -0.50784351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44621998761147))-π/2
    2×atan(11.5446253108541)-π/2
    2×1.48439160238783-π/2
    2.96878320477566-1.57079632675     		φ = 1.39798688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50784351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.097290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39798688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.098748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27471 KachelY 7253 -0.50784351 1.39798688 -29.097290 80.098748
    Oben rechts KachelX + 1 27472 KachelY 7253 -0.50774764 1.39798688 -29.091797 80.098748
    Unten links KachelX 27471 KachelY + 1 7254 -0.50784351 1.39797039 -29.097290 80.097803
    Unten rechts KachelX + 1 27472 KachelY + 1 7254 -0.50774764 1.39797039 -29.091797 80.097803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39798688-1.39797039) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39798688-1.39797039) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50784351--0.50774764) × cos(1.39798688) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.171950625711979 × 6371000     		do = 105.025339228843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50784351--0.50774764) × cos(1.39797039) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.171966870079434 × 6371000     		du = 105.035261089817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39798688)-sin(1.39797039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171950625711979-0.171966870079434)×R²
    abs(-0.50774764--0.50784351)×1.62443674556201e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.62443674556201e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.62443674556201e-05×40589641000000     		ar = 11034.2512177043m²