Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27471 / 21293
↖ ↑ ↗
← N 53.182996°
W 29.097290°		 ← 366.02 m → N 53.182996°
W 29.091797°		 →
↑
366.01 m
↓
↑
366.01 m
↓
N 53.179704°
W 29.097290°		 ← 366.05 m →
133 974 m²		 N 53.179704°
W 29.091797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419181823730469 y=0.324913024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419181823730469 × 216)
    floor (0.419181823730469 × 65536)
    floor (27471.5)     		tx = 27471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324913024902344 × 216)
    floor (0.324913024902344 × 65536)
    floor (21293.5)     		ty = 21293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27471 / 21293 ti = "16/27471/21293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27471/21293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27471 ÷ 216
    27471 ÷ 65536     		x = 0.419174194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21293 ÷ 216
    21293 ÷ 65536     		y = 0.324905395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419174194335938 × 2 - 1) × π
    -0.161651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50784351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324905395507812 × 2 - 1) × π
    0.350189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10015184628029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50784351} λ = -0.50784351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10015184628029))-π/2
    2×atan(3.00462223001826)-π/2
    2×1.24950735530454-π/2
    2.49901471060909-1.57079632675     		φ = 0.92821838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50784351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.097290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92821838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.182996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27471 KachelY 21293 -0.50784351 0.92821838 -29.097290 53.182996
    Oben rechts KachelX + 1 27472 KachelY 21293 -0.50774764 0.92821838 -29.091797 53.182996
    Unten links KachelX 27471 KachelY + 1 21294 -0.50784351 0.92816093 -29.097290 53.179704
    Unten rechts KachelX + 1 27472 KachelY + 1 21294 -0.50774764 0.92816093 -29.091797 53.179704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92821838-0.92816093) × R
    5.74500000000144e-05 × 6371000     		dl = 366.013950000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92821838-0.92816093) × R
    5.74500000000144e-05 × 6371000     		dr = 366.013950000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50784351--0.50774764) × cos(0.92821838) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.599261214837785 × 6371000     		do = 366.021421058677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50784351--0.50774764) × cos(0.92816093) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.599307205650633 × 6371000     		du = 366.049511684698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92821838)-sin(0.92816093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599261214837785-0.599307205650633)×R²
    abs(-0.50774764--0.50784351)×4.59908128485065e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.59908128485065e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.59908128485065e-05×40589641000000     		ar = 133974.086923921m²