Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27470 / 8814
↖ ↑ ↗
← N 78.510264°
W 29.102783°		 ← 121.68 m → N 78.510264°
W 29.097290°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
N 78.509169°
W 29.102783°		 ← 121.69 m →
14 807 m²		 N 78.509169°
W 29.097290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419166564941406 y=0.134498596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419166564941406 × 216)
    floor (0.419166564941406 × 65536)
    floor (27470.5)     		tx = 27470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134498596191406 × 216)
    floor (0.134498596191406 × 65536)
    floor (8814.5)     		ty = 8814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27470 / 8814 ti = "16/27470/8814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27470/8814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27470 ÷ 216
    27470 ÷ 65536     		x = 0.419158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8814 ÷ 216
    8814 ÷ 65536     		y = 0.134490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134490966796875 × 2 - 1) × π
    0.73101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29656098699765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50793939} λ = -0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29656098699765))-π/2
    2×atan(9.93994002549286)-π/2
    2×1.47052946388425-π/2
    2.94105892776849-1.57079632675     		φ = 1.37026260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37026260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.510264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27470 KachelY 8814 -0.50793939 1.37026260 -29.102783 78.510264
    Oben rechts KachelX + 1 27471 KachelY 8814 -0.50784351 1.37026260 -29.097290 78.510264
    Unten links KachelX 27470 KachelY + 1 8815 -0.50793939 1.37024350 -29.102783 78.509169
    Unten rechts KachelX + 1 27471 KachelY + 1 8815 -0.50784351 1.37024350 -29.097290 78.509169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37026260-1.37024350) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dl = 121.686100000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37026260-1.37024350) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dr = 121.686100000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50793939--0.50784351) × cos(1.37026260) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199192390266704 × 6371000     		do = 121.676966399074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50793939--0.50784351) × cos(1.37024350) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199211107474069 × 6371000     		du = 121.688399832894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37026260)-sin(1.37024350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199192390266704-0.199211107474069)×R²
    abs(-0.50784351--0.50793939)×1.87172073645991e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.87172073645991e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.87172073645991e-05×40589641000000     		ar = 14807.0911464396m²