Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27470 / 8720
↖ ↑ ↗
← N 78.612666°
W 29.102783°		 ← 120.61 m → N 78.612666°
W 29.097290°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
N 78.611581°
W 29.102783°		 ← 120.62 m →
14 546 m²		 N 78.611581°
W 29.097290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419166564941406 y=0.133064270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419166564941406 × 216)
    floor (0.419166564941406 × 65536)
    floor (27470.5)     		tx = 27470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133064270019531 × 216)
    floor (0.133064270019531 × 65536)
    floor (8720.5)     		ty = 8720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27470 / 8720 ti = "16/27470/8720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27470/8720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27470 ÷ 216
    27470 ÷ 65536     		x = 0.419158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8720 ÷ 216
    8720 ÷ 65536     		y = 0.133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133056640625 × 2 - 1) × π
    0.73388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30557312412622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50793939} λ = -0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30557312412622))-π/2
    2×atan(10.0299249974688)-π/2
    2×1.47142308613162-π/2
    2.94284617226324-1.57079632675     		φ = 1.37204985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37204985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.612666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27470 KachelY 8720 -0.50793939 1.37204985 -29.102783 78.612666
    Oben rechts KachelX + 1 27471 KachelY 8720 -0.50784351 1.37204985 -29.097290 78.612666
    Unten links KachelX 27470 KachelY + 1 8721 -0.50793939 1.37203092 -29.102783 78.611581
    Unten rechts KachelX + 1 27471 KachelY + 1 8721 -0.50784351 1.37203092 -29.097290 78.611581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37204985-1.37203092) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37204985-1.37203092) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50793939--0.50784351) × cos(1.37204985) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19744063883236 × 6371000     		do = 120.606906442813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50793939--0.50784351) × cos(1.37203092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197459196156987 × 6371000     		du = 120.618242212027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37204985)-sin(1.37203092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19744063883236-0.197459196156987)×R²
    abs(-0.50784351--0.50793939)×1.85573246273274e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85573246273274e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85573246273274e-05×40589641000000     		ar = 14546.2419204417m²