Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27469 / 8727
↖ ↑ ↗
← N 78.605071°
W 29.108276°		 ← 120.67 m → N 78.605071°
W 29.102783°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
N 78.603985°
W 29.108276°		 ← 120.69 m →
14 570 m²		 N 78.603985°
W 29.102783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419151306152344 y=0.133171081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419151306152344 × 216)
    floor (0.419151306152344 × 65536)
    floor (27469.5)     		tx = 27469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133171081542969 × 216)
    floor (0.133171081542969 × 65536)
    floor (8727.5)     		ty = 8727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27469 / 8727 ti = "16/27469/8727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27469/8727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27469 ÷ 216
    27469 ÷ 65536     		x = 0.419143676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8727 ÷ 216
    8727 ÷ 65536     		y = 0.133163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419143676757812 × 2 - 1) × π
    -0.161712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50803526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133163452148438 × 2 - 1) × π
    0.733673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30490200753154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50803526} λ = -0.50803526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30490200753154))-π/2
    2×atan(10.0231960065808)-π/2
    2×1.47135681148689-π/2
    2.94271362297378-1.57079632675     		φ = 1.37191730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50803526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.108276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37191730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.605071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27469 KachelY 8727 -0.50803526 1.37191730 -29.108276 78.605071
    Oben rechts KachelX + 1 27470 KachelY 8727 -0.50793939 1.37191730 -29.102783 78.605071
    Unten links KachelX 27469 KachelY + 1 8728 -0.50803526 1.37189835 -29.108276 78.603985
    Unten rechts KachelX + 1 27470 KachelY + 1 8728 -0.50793939 1.37189835 -29.102783 78.603985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37191730-1.37189835) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37191730-1.37189835) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50803526--0.50793939) × cos(1.37191730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197570577830137 × 6371000     		do = 120.673692650478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50803526--0.50793939) × cos(1.37189835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197589154264864 × 6371000     		du = 120.68503890962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37191730)-sin(1.37189835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197570577830137-0.197589154264864)×R²
    abs(-0.50793939--0.50803526)×1.85764347271355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85764347271355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85764347271355e-05×40589641000000     		ar = 14569.6741367841m²