Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27468 / 21596
↖ ↑ ↗
← N 52.173932°
W 29.113770°		 ← 374.61 m → N 52.173932°
W 29.108276°		 →
↑
374.61 m
↓
↑
374.61 m
↓
N 52.170563°
W 29.113770°		 ← 374.64 m →
140 342 m²		 N 52.170563°
W 29.108276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419136047363281 y=0.329536437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419136047363281 × 216)
    floor (0.419136047363281 × 65536)
    floor (27468.5)     		tx = 27468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329536437988281 × 216)
    floor (0.329536437988281 × 65536)
    floor (21596.5)     		ty = 21596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27468 / 21596 ti = "16/27468/21596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27468/21596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27468 ÷ 216
    27468 ÷ 65536     		x = 0.41912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21596 ÷ 216
    21596 ÷ 65536     		y = 0.32952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.1617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50813114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32952880859375 × 2 - 1) × π
    0.3409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07110208511053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50813114} λ = -0.50813114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07110208511053))-π/2
    2×atan(2.91859426746378)-π/2
    2×1.24070160926103-π/2
    2.48140321852206-1.57079632675     		φ = 0.91060689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50813114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.113770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91060689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.173932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27468 KachelY 21596 -0.50813114 0.91060689 -29.113770 52.173932
    Oben rechts KachelX + 1 27469 KachelY 21596 -0.50803526 0.91060689 -29.108276 52.173932
    Unten links KachelX 27468 KachelY + 1 21597 -0.50813114 0.91054809 -29.113770 52.170563
    Unten rechts KachelX + 1 27469 KachelY + 1 21597 -0.50803526 0.91054809 -29.108276 52.170563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91060689-0.91054809) × R
    5.87999999999145e-05 × 6371000     		dl = 374.614799999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91060689-0.91054809) × R
    5.87999999999145e-05 × 6371000     		dr = 374.614799999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50813114--0.50803526) × cos(0.91060689) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.61326649456762 × 6371000     		do = 374.614745841231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50813114--0.50803526) × cos(0.91054809) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.613312938220368 × 6371000     		du = 374.643116015248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91060689)-sin(0.91054809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61326649456762-0.613312938220368)×R²
    abs(-0.50803526--0.50813114)×4.6443652748418e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6443652748418e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6443652748418e-05×40589641000000     		ar = 140341.542074111m²