Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27466 / 8381
↖ ↑ ↗
← N 78.974538°
W 29.124756°		 ← 116.81 m → N 78.974538°
W 29.119263°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
N 78.973488°
W 29.124756°		 ← 116.82 m →
13 642 m²		 N 78.973488°
W 29.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419105529785156 y=0.127891540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419105529785156 × 216)
    floor (0.419105529785156 × 65536)
    floor (27466.5)     		tx = 27466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127891540527344 × 216)
    floor (0.127891540527344 × 65536)
    floor (8381.5)     		ty = 8381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27466 / 8381 ti = "16/27466/8381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27466/8381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27466 ÷ 216
    27466 ÷ 65536     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8381 ÷ 216
    8381 ÷ 65536     		y = 0.127883911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127883911132812 × 2 - 1) × π
    0.744232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33807434206862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33807434206862))-π/2
    2×atan(10.3612650874936)-π/2
    2×1.47458102003554-π/2
    2.94916204007108-1.57079632675     		φ = 1.37836571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37836571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.974538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27466 KachelY 8381 -0.50832288 1.37836571 -29.124756 78.974538
    Oben rechts KachelX + 1 27467 KachelY 8381 -0.50822701 1.37836571 -29.119263 78.974538
    Unten links KachelX 27466 KachelY + 1 8382 -0.50832288 1.37834738 -29.124756 78.973488
    Unten rechts KachelX + 1 27467 KachelY + 1 8382 -0.50822701 1.37834738 -29.119263 78.973488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37836571-1.37834738) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dl = 116.780430000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37836571-1.37834738) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dr = 116.780430000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(1.37836571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191245210733531 × 6371000     		do = 116.810235787111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(1.37834738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191263202371599 × 6371000     		du = 116.821224859605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37836571)-sin(1.37834738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191245210733531-0.191263202371599)×R²
    abs(-0.50822701--0.50832288)×1.79916380682321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79916380682321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79916380682321e-05×40589641000000     		ar = 13641.7912185765m²