Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27466 / 8363
↖ ↑ ↗
← N 78.993432°
W 29.124756°		 ← 116.61 m → N 78.993432°
W 29.119263°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
N 78.992383°
W 29.124756°		 ← 116.62 m →
13 596 m²		 N 78.992383°
W 29.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419105529785156 y=0.127616882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419105529785156 × 216)
    floor (0.419105529785156 × 65536)
    floor (27466.5)     		tx = 27466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127616882324219 × 216)
    floor (0.127616882324219 × 65536)
    floor (8363.5)     		ty = 8363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27466 / 8363 ti = "16/27466/8363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27466/8363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27466 ÷ 216
    27466 ÷ 65536     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8363 ÷ 216
    8363 ÷ 65536     		y = 0.127609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127609252929688 × 2 - 1) × π
    0.744781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33980007045494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33980007045494))-π/2
    2×atan(10.3791612542934)-π/2
    2×1.4747458989926-π/2
    2.9494917979852-1.57079632675     		φ = 1.37869547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37869547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.993432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27466 KachelY 8363 -0.50832288 1.37869547 -29.124756 78.993432
    Oben rechts KachelX + 1 27467 KachelY 8363 -0.50822701 1.37869547 -29.119263 78.993432
    Unten links KachelX 27466 KachelY + 1 8364 -0.50832288 1.37867717 -29.124756 78.992383
    Unten rechts KachelX + 1 27467 KachelY + 1 8364 -0.50822701 1.37867717 -29.119263 78.992383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37869547-1.37867717) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37869547-1.37867717) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(1.37869547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190921526955297 × 6371000     		do = 116.612533694018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(1.37867717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190939490300369 × 6371000     		du = 116.623505485497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37869547)-sin(1.37867717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190921526955297-0.190939490300369)×R²
    abs(-0.50822701--0.50832288)×1.7963345071953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7963345071953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7963345071953e-05×40589641000000     		ar = 13596.4132718465m²