Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27466 / 6484
↖ ↑ ↗
← N 80.799341°
W 29.124756°		 ← 97.66 m → N 80.799341°
W 29.119263°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 80.798463°
W 29.124756°		 ← 97.67 m →
9 539 m²		 N 80.798463°
W 29.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419105529785156 y=0.0989456176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419105529785156 × 216)
    floor (0.419105529785156 × 65536)
    floor (27466.5)     		tx = 27466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989456176757812 × 216)
    floor (0.0989456176757812 × 65536)
    floor (6484.5)     		ty = 6484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27466 / 6484 ti = "16/27466/6484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27466/6484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27466 ÷ 216
    27466 ÷ 65536     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6484 ÷ 216
    6484 ÷ 65536     		y = 0.09893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09893798828125 × 2 - 1) × π
    0.8021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51994693922711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51994693922711))-π/2
    2×atan(12.4279372101284)-π/2
    2×1.49050543192677-π/2
    2.98101086385353-1.57079632675     		φ = 1.41021454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41021454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.799341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27466 KachelY 6484 -0.50832288 1.41021454 -29.124756 80.799341
    Oben rechts KachelX + 1 27467 KachelY 6484 -0.50822701 1.41021454 -29.119263 80.799341
    Unten links KachelX 27466 KachelY + 1 6485 -0.50832288 1.41019921 -29.124756 80.798463
    Unten rechts KachelX + 1 27467 KachelY + 1 6485 -0.50822701 1.41019921 -29.119263 80.798463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41021454-1.41019921) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dl = 97.6674299991658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41021454-1.41019921) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dr = 97.6674299991658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(1.41021454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159892535416191 × 6371000     		do = 97.6604051464991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(1.41019921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159907668168169 × 6371000     		du = 97.6696480463338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41021454)-sin(1.41019921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159892535416191-0.159907668168169)×R²
    abs(-0.50822701--0.50832288)×1.51327519782862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51327519782862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51327519782862e-05×40589641000000     		ar = 9538.69214895434m²