Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27466 / 21287
↖ ↑ ↗
← N 53.202743°
W 29.124756°		 ← 365.85 m → N 53.202743°
W 29.119263°		 →
↑
365.89 m
↓
↑
365.89 m
↓
N 53.199452°
W 29.124756°		 ← 365.88 m →
133 866 m²		 N 53.199452°
W 29.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419105529785156 y=0.324821472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419105529785156 × 216)
    floor (0.419105529785156 × 65536)
    floor (27466.5)     		tx = 27466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324821472167969 × 216)
    floor (0.324821472167969 × 65536)
    floor (21287.5)     		ty = 21287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27466 / 21287 ti = "16/27466/21287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27466/21287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27466 ÷ 216
    27466 ÷ 65536     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21287 ÷ 216
    21287 ÷ 65536     		y = 0.324813842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324813842773438 × 2 - 1) × π
    0.350372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10072708907573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10072708907573))-π/2
    2×atan(3.0063511145256)-π/2
    2×1.2496796759675-π/2
    2.49935935193499-1.57079632675     		φ = 0.92856303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92856303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.202743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27466 KachelY 21287 -0.50832288 0.92856303 -29.124756 53.202743
    Oben rechts KachelX + 1 27467 KachelY 21287 -0.50822701 0.92856303 -29.119263 53.202743
    Unten links KachelX 27466 KachelY + 1 21288 -0.50832288 0.92850560 -29.124756 53.199452
    Unten rechts KachelX + 1 27467 KachelY + 1 21288 -0.50822701 0.92850560 -29.119263 53.199452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92856303-0.92850560) × R
    5.74299999999139e-05 × 6371000     		dl = 365.886529999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92856303-0.92850560) × R
    5.74299999999139e-05 × 6371000     		dr = 365.886529999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(0.92856303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598985268468884 × 6371000     		do = 365.852876390953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50822701) × cos(0.92850560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599031255130401 × 6371000     		du = 365.88096448139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92856303)-sin(0.92850560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598985268468884-0.599031255130401)×R²
    abs(-0.50822701--0.50832288)×4.59866615166726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59866615166726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59866615166726e-05×40589641000000     		ar = 133865.777996936m²