Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27465 / 9369
↖ ↑ ↗
← N 77.886885°
W 29.130249°		 ← 128.18 m → N 77.886885°
W 29.124756°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
N 77.885732°
W 29.130249°		 ← 128.19 m →
16 432 m²		 N 77.885732°
W 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419090270996094 y=0.142967224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419090270996094 × 216)
    floor (0.419090270996094 × 65536)
    floor (27465.5)     		tx = 27465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142967224121094 × 216)
    floor (0.142967224121094 × 65536)
    floor (9369.5)     		ty = 9369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27465 / 9369 ti = "16/27465/9369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27465/9369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27465 ÷ 216
    27465 ÷ 65536     		x = 0.419082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9369 ÷ 216
    9369 ÷ 65536     		y = 0.142959594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.161834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50841876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142959594726562 × 2 - 1) × π
    0.714080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24335102841939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50841876} λ = -0.50841876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24335102841939))-π/2
    2×atan(9.42486140719808)-π/2
    2×1.4650894593803-π/2
    2.93017891876059-1.57079632675     		φ = 1.35938259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50841876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35938259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.886885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27465 KachelY 9369 -0.50841876 1.35938259 -29.130249 77.886885
    Oben rechts KachelX + 1 27466 KachelY 9369 -0.50832288 1.35938259 -29.124756 77.886885
    Unten links KachelX 27465 KachelY + 1 9370 -0.50841876 1.35936247 -29.130249 77.885732
    Unten rechts KachelX + 1 27466 KachelY + 1 9370 -0.50832288 1.35936247 -29.124756 77.885732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35938259-1.35936247) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35938259-1.35936247) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50841876--0.50832288) × cos(1.35938259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209842369356875 × 6371000     		do = 128.18252188827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50841876--0.50832288) × cos(1.35936247) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209862041347228 × 6371000     		du = 128.194538552691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35938259)-sin(1.35936247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209842369356875-0.209862041347228)×R²
    abs(-0.50832288--0.50841876)×1.96719903531317e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.96719903531317e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.96719903531317e-05×40589641000000     		ar = 16431.7852165206m²