Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27465 / 9353
↖ ↑ ↗
← N 77.905314°
W 29.130249°		 ← 127.99 m → N 77.905314°
W 29.124756°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 77.904164°
W 29.130249°		 ← 128 m →
16 375 m²		 N 77.904164°
W 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419090270996094 y=0.142723083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419090270996094 × 216)
    floor (0.419090270996094 × 65536)
    floor (27465.5)     		tx = 27465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142723083496094 × 216)
    floor (0.142723083496094 × 65536)
    floor (9353.5)     		ty = 9353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27465 / 9353 ti = "16/27465/9353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27465/9353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27465 ÷ 216
    27465 ÷ 65536     		x = 0.419082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9353 ÷ 216
    9353 ÷ 65536     		y = 0.142715454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.161834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50841876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142715454101562 × 2 - 1) × π
    0.714569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24488500920723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50841876} λ = -0.50841876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24488500920723))-π/2
    2×atan(9.4393300580038)-π/2
    2×1.46525028582151-π/2
    2.93050057164301-1.57079632675     		φ = 1.35970424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50841876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35970424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.905314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27465 KachelY 9353 -0.50841876 1.35970424 -29.130249 77.905314
    Oben rechts KachelX + 1 27466 KachelY 9353 -0.50832288 1.35970424 -29.124756 77.905314
    Unten links KachelX 27465 KachelY + 1 9354 -0.50841876 1.35968416 -29.130249 77.904164
    Unten rechts KachelX + 1 27466 KachelY + 1 9354 -0.50832288 1.35968416 -29.124756 77.904164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35970424-1.35968416) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dl = 127.929679999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35970424-1.35968416) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dr = 127.929679999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50841876--0.50832288) × cos(1.35970424) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20952786997055 × 6371000     		do = 127.990409472674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50841876--0.50832288) × cos(1.35968416) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209547504206026 × 6371000     		du = 128.002403074473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35970424)-sin(1.35968416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20952786997055-0.209547504206026)×R²
    abs(-0.50832288--0.50841876)×1.96342354758794e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.96342354758794e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.96342354758794e-05×40589641000000     		ar = 16374.5392959209m²