Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27465 / 8380
↖ ↑ ↗
← N 78.975589°
W 29.130249°		 ← 116.81 m → N 78.975589°
W 29.124756°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
N 78.974538°
W 29.130249°		 ← 116.82 m →
13 649 m²		 N 78.974538°
W 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419090270996094 y=0.127876281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419090270996094 × 216)
    floor (0.419090270996094 × 65536)
    floor (27465.5)     		tx = 27465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127876281738281 × 216)
    floor (0.127876281738281 × 65536)
    floor (8380.5)     		ty = 8380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27465 / 8380 ti = "16/27465/8380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27465/8380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27465 ÷ 216
    27465 ÷ 65536     		x = 0.419082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8380 ÷ 216
    8380 ÷ 65536     		y = 0.12786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.161834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50841876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12786865234375 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33817021586786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50841876} λ = -0.50841876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33817021586786))-π/2
    2×atan(10.3622585089632)-π/2
    2×1.47459018730651-π/2
    2.94918037461302-1.57079632675     		φ = 1.37838405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50841876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37838405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.975589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27465 KachelY 8380 -0.50841876 1.37838405 -29.130249 78.975589
    Oben rechts KachelX + 1 27466 KachelY 8380 -0.50832288 1.37838405 -29.124756 78.975589
    Unten links KachelX 27465 KachelY + 1 8381 -0.50841876 1.37836571 -29.130249 78.974538
    Unten rechts KachelX + 1 27466 KachelY + 1 8381 -0.50832288 1.37836571 -29.124756 78.974538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37838405-1.37836571) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37838405-1.37836571) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50841876--0.50832288) × cos(1.37838405) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191227209215748 × 6371000     		do = 116.811423765633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50841876--0.50832288) × cos(1.37836571) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191245210733531 × 6371000     		du = 116.822420019412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37838405)-sin(1.37836571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191227209215748-0.191245210733531)×R²
    abs(-0.50832288--0.50841876)×1.800151778239e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.800151778239e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.800151778239e-05×40589641000000     		ar = 13649.3727761334m²