Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27464 / 8382
↖ ↑ ↗
← N 78.973488°
W 29.135742°		 ← 116.82 m → N 78.973488°
W 29.130249°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
N 78.972437°
W 29.135742°		 ← 116.83 m →
13 651 m²		 N 78.972437°
W 29.130249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419075012207031 y=0.127906799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419075012207031 × 216)
    floor (0.419075012207031 × 65536)
    floor (27464.5)     		tx = 27464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127906799316406 × 216)
    floor (0.127906799316406 × 65536)
    floor (8382.5)     		ty = 8382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27464 / 8382 ti = "16/27464/8382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27464/8382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27464 ÷ 216
    27464 ÷ 65536     		x = 0.4190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8382 ÷ 216
    8382 ÷ 65536     		y = 0.127899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127899169921875 × 2 - 1) × π
    0.74420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33797846826938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50851463} λ = -0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33797846826938))-π/2
    2×atan(10.3602717612624)-π/2
    2×1.47457185190185-π/2
    2.9491437038037-1.57079632675     		φ = 1.37834738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37834738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.973488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27464 KachelY 8382 -0.50851463 1.37834738 -29.135742 78.973488
    Oben rechts KachelX + 1 27465 KachelY 8382 -0.50841876 1.37834738 -29.130249 78.973488
    Unten links KachelX 27464 KachelY + 1 8383 -0.50851463 1.37832904 -29.135742 78.972437
    Unten rechts KachelX + 1 27465 KachelY + 1 8383 -0.50841876 1.37832904 -29.130249 78.972437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37834738-1.37832904) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37834738-1.37832904) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50851463--0.50841876) × cos(1.37834738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191263202371599 × 6371000     		do = 116.821224859605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50851463--0.50841876) × cos(1.37832904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191281203760758 × 6371000     		du = 116.832219887946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37834738)-sin(1.37832904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191263202371599-0.191281203760758)×R²
    abs(-0.50841876--0.50851463)×1.80013891586395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80013891586395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80013891586395e-05×40589641000000     		ar = 13650.5179049313m²