Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27463 / 9501
↖ ↑ ↗
← N 77.733784°
W 29.141235°		 ← 129.76 m → N 77.733784°
W 29.135742°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 77.732617°
W 29.141235°		 ← 129.78 m →
16 841 m²		 N 77.732617°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419059753417969 y=0.144981384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419059753417969 × 216)
    floor (0.419059753417969 × 65536)
    floor (27463.5)     		tx = 27463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144981384277344 × 216)
    floor (0.144981384277344 × 65536)
    floor (9501.5)     		ty = 9501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27463 / 9501 ti = "16/27463/9501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27463/9501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27463 ÷ 216
    27463 ÷ 65536     		x = 0.419052124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9501 ÷ 216
    9501 ÷ 65536     		y = 0.144973754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419052124023438 × 2 - 1) × π
    -0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144973754882812 × 2 - 1) × π
    0.710052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23069568691969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50861050} λ = -0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23069568691969))-π/2
    2×atan(9.30633812566789)-π/2
    2×1.46375339866899-π/2
    2.92750679733799-1.57079632675     		φ = 1.35671047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35671047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.733784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27463 KachelY 9501 -0.50861050 1.35671047 -29.141235 77.733784
    Oben rechts KachelX + 1 27464 KachelY 9501 -0.50851463 1.35671047 -29.135742 77.733784
    Unten links KachelX 27463 KachelY + 1 9502 -0.50861050 1.35669010 -29.141235 77.732617
    Unten rechts KachelX + 1 27464 KachelY + 1 9502 -0.50851463 1.35669010 -29.135742 77.732617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35671047-1.35669010) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dl = 129.77726999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35671047-1.35669010) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dr = 129.77726999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50861050--0.50851463) × cos(1.35671047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212454242950144 × 6371000     		do = 129.764453278554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50861050--0.50851463) × cos(1.35669010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212474147879662 × 6371000     		du = 129.776610966066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35671047)-sin(1.35669010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212454242950144-0.212474147879662)×R²
    abs(-0.50851463--0.50861050)×1.99049295183384e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99049295183384e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99049295183384e-05×40589641000000     		ar = 16841.2653858133m²