Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27463 / 8712
↖ ↑ ↗
← N 78.621339°
W 29.141235°		 ← 120.50 m → N 78.621339°
W 29.135742°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 78.620255°
W 29.141235°		 ← 120.52 m →
14 518 m²		 N 78.620255°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419059753417969 y=0.132942199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419059753417969 × 216)
    floor (0.419059753417969 × 65536)
    floor (27463.5)     		tx = 27463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132942199707031 × 216)
    floor (0.132942199707031 × 65536)
    floor (8712.5)     		ty = 8712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27463 / 8712 ti = "16/27463/8712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27463/8712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27463 ÷ 216
    27463 ÷ 65536     		x = 0.419052124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8712 ÷ 216
    8712 ÷ 65536     		y = 0.1329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419052124023438 × 2 - 1) × π
    -0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1329345703125 × 2 - 1) × π
    0.734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30634011452014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50861050} λ = -0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30634011452014))-π/2
    2×atan(10.0376208045213)-π/2
    2×1.47149877521113-π/2
    2.94299755042227-1.57079632675     		φ = 1.37220122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37220122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.621339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27463 KachelY 8712 -0.50861050 1.37220122 -29.141235 78.621339
    Oben rechts KachelX + 1 27464 KachelY 8712 -0.50851463 1.37220122 -29.135742 78.621339
    Unten links KachelX 27463 KachelY + 1 8713 -0.50861050 1.37218231 -29.141235 78.620255
    Unten rechts KachelX + 1 27464 KachelY + 1 8713 -0.50851463 1.37218231 -29.135742 78.620255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37220122-1.37218231) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37220122-1.37218231) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50861050--0.50851463) × cos(1.37220122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197292246312964 × 6371000     		do = 120.503691163784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50861050--0.50851463) × cos(1.37218231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197310784596339 × 6371000     		du = 120.515014120546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37220122)-sin(1.37218231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197292246312964-0.197310784596339)×R²
    abs(-0.50851463--0.50861050)×1.85382833748082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85382833748082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85382833748082e-05×40589641000000     		ar = 14518.4377708665m²