Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27462 / 9365
↖ ↑ ↗
← N 77.891495°
W 29.146729°		 ← 128.13 m → N 77.891495°
W 29.141235°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 77.890343°
W 29.146729°		 ← 128.15 m →
16 417 m²		 N 77.890343°
W 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419044494628906 y=0.142906188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419044494628906 × 216)
    floor (0.419044494628906 × 65536)
    floor (27462.5)     		tx = 27462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142906188964844 × 216)
    floor (0.142906188964844 × 65536)
    floor (9365.5)     		ty = 9365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27462 / 9365 ti = "16/27462/9365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27462/9365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27462 ÷ 216
    27462 ÷ 65536     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9365 ÷ 216
    9365 ÷ 65536     		y = 0.142898559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142898559570312 × 2 - 1) × π
    0.714202880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24373452361635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24373452361635))-π/2
    2×atan(9.42847648941879)-π/2
    2×1.46512968860769-π/2
    2.93025937721537-1.57079632675     		φ = 1.35946305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35946305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.891495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27462 KachelY 9365 -0.50870638 1.35946305 -29.146729 77.891495
    Oben rechts KachelX + 1 27463 KachelY 9365 -0.50861050 1.35946305 -29.141235 77.891495
    Unten links KachelX 27462 KachelY + 1 9366 -0.50870638 1.35944294 -29.146729 77.890343
    Unten rechts KachelX + 1 27463 KachelY + 1 9366 -0.50861050 1.35944294 -29.141235 77.890343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35946305-1.35944294) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35946305-1.35944294) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50861050) × cos(1.35946305) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209763700101112 × 6371000     		do = 128.134466657105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50861050) × cos(1.35944294) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209783362653643 × 6371000     		du = 128.146477556419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35946305)-sin(1.35944294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209763700101112-0.209783362653643)×R²
    abs(-0.50861050--0.50870638)×1.96625525307192e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.96625525307192e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.96625525307192e-05×40589641000000     		ar = 16417.4610804302m²