Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27462 / 8713
↖ ↑ ↗
← N 78.620255°
W 29.146729°		 ← 120.53 m → N 78.620255°
W 29.141235°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
N 78.619171°
W 29.146729°		 ← 120.54 m →
14 529 m²		 N 78.619171°
W 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419044494628906 y=0.132957458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419044494628906 × 216)
    floor (0.419044494628906 × 65536)
    floor (27462.5)     		tx = 27462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132957458496094 × 216)
    floor (0.132957458496094 × 65536)
    floor (8713.5)     		ty = 8713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27462 / 8713 ti = "16/27462/8713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27462/8713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27462 ÷ 216
    27462 ÷ 65536     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8713 ÷ 216
    8713 ÷ 65536     		y = 0.132949829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132949829101562 × 2 - 1) × π
    0.734100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3062442407209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3062442407209))-π/2
    2×atan(10.0366585058098)-π/2
    2×1.47148931718823-π/2
    2.94297863437646-1.57079632675     		φ = 1.37218231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37218231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.620255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27462 KachelY 8713 -0.50870638 1.37218231 -29.146729 78.620255
    Oben rechts KachelX + 1 27463 KachelY 8713 -0.50861050 1.37218231 -29.141235 78.620255
    Unten links KachelX 27462 KachelY + 1 8714 -0.50870638 1.37216339 -29.146729 78.619171
    Unten rechts KachelX + 1 27463 KachelY + 1 8714 -0.50861050 1.37216339 -29.141235 78.619171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37218231-1.37216339) × R
    1.89199999998113e-05 × 6371000     		dl = 120.539319998798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37218231-1.37216339) × R
    1.89199999998113e-05 × 6371000     		dr = 120.539319998798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50861050) × cos(1.37218231) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.197310784596339 × 6371000     		do = 120.527584790696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50861050) × cos(1.37216339) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.19732933261253 × 6371000     		du = 120.538914873837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37218231)-sin(1.37216339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197310784596339-0.19732933261253)×R²
    abs(-0.50861050--0.50870638)×1.85480161911111e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.85480161911111e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.85480161911111e-05×40589641000000     		ar = 14528.995972364m²