Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27462 / 21614
↖ ↑ ↗
← N 52.113252°
W 29.146729°		 ← 375.13 m → N 52.113252°
W 29.141235°		 →
↑
375.12 m
↓
↑
375.12 m
↓
N 52.109879°
W 29.146729°		 ← 375.15 m →
140 724 m²		 N 52.109879°
W 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419044494628906 y=0.329811096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419044494628906 × 216)
    floor (0.419044494628906 × 65536)
    floor (27462.5)     		tx = 27462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329811096191406 × 216)
    floor (0.329811096191406 × 65536)
    floor (21614.5)     		ty = 21614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27462 / 21614 ti = "16/27462/21614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27462/21614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27462 ÷ 216
    27462 ÷ 65536     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21614 ÷ 216
    21614 ÷ 65536     		y = 0.329803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329803466796875 × 2 - 1) × π
    0.34039306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06937635672421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06937635672421))-π/2
    2×atan(2.91356190997827)-π/2
    2×1.24017208284226-π/2
    2.48034416568453-1.57079632675     		φ = 0.90954784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90954784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.113252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27462 KachelY 21614 -0.50870638 0.90954784 -29.146729 52.113252
    Oben rechts KachelX + 1 27463 KachelY 21614 -0.50861050 0.90954784 -29.141235 52.113252
    Unten links KachelX 27462 KachelY + 1 21615 -0.50870638 0.90948896 -29.146729 52.109879
    Unten rechts KachelX + 1 27463 KachelY + 1 21615 -0.50861050 0.90948896 -29.141235 52.109879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90954784-0.90948896) × R
    5.88799999999834e-05 × 6371000     		dl = 375.124479999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90954784-0.90948896) × R
    5.88799999999834e-05 × 6371000     		dr = 375.124479999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50861050) × cos(0.90954784) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.614102668747837 × 6371000     		do = 375.125524076754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50861050) × cos(0.90948896) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.614149137318885 × 6371000     		du = 375.153909472153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90954784)-sin(0.90948896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614102668747837-0.614149137318885)×R²
    abs(-0.50861050--0.50870638)×4.64685710482859e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.64685710482859e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.64685710482859e-05×40589641000000     		ar = 140724.091223022m²