Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27461 / 8317
↖ ↑ ↗
← N 79.041570°
W 29.152222°		 ← 116.11 m → N 79.041570°
W 29.146729°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
N 79.040527°
W 29.152222°		 ← 116.12 m →
13 478 m²		 N 79.040527°
W 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419029235839844 y=0.126914978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419029235839844 × 216)
    floor (0.419029235839844 × 65536)
    floor (27461.5)     		tx = 27461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126914978027344 × 216)
    floor (0.126914978027344 × 65536)
    floor (8317.5)     		ty = 8317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27461 / 8317 ti = "16/27461/8317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27461/8317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27461 ÷ 216
    27461 ÷ 65536     		x = 0.419021606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8317 ÷ 216
    8317 ÷ 65536     		y = 0.126907348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419021606445312 × 2 - 1) × π
    -0.161956787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50880225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126907348632812 × 2 - 1) × π
    0.746185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34421026521999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50880225} λ = -0.50880225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34421026521999))-π/2
    2×atan(10.4250364618674)-π/2
    2×1.47516598954291-π/2
    2.95033197908581-1.57079632675     		φ = 1.37953565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50880225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.152222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37953565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.041570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27461 KachelY 8317 -0.50880225 1.37953565 -29.152222 79.041570
    Oben rechts KachelX + 1 27462 KachelY 8317 -0.50870638 1.37953565 -29.146729 79.041570
    Unten links KachelX 27461 KachelY + 1 8318 -0.50880225 1.37951743 -29.152222 79.040527
    Unten rechts KachelX + 1 27462 KachelY + 1 8318 -0.50870638 1.37951743 -29.146729 79.040527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37953565-1.37951743) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37953565-1.37951743) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50880225--0.50870638) × cos(1.37953565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190096734523013 × 6371000     		do = 116.108760563591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50880225--0.50870638) × cos(1.37951743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190114622256406 × 6371000     		du = 116.11968617238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37953565)-sin(1.37951743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190096734523013-0.190114622256406)×R²
    abs(-0.50870638--0.50880225)×1.78877333927019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78877333927019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78877333927019e-05×40589641000000     		ar = 13478.4949254594m²