Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27459 / 7147
↖ ↑ ↗
← N 80.198371°
W 29.163208°		 ← 103.98 m → N 80.198371°
W 29.157715°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
N 80.197436°
W 29.163208°		 ← 103.99 m →
10 812 m²		 N 80.197436°
W 29.157715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418998718261719 y=0.109062194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418998718261719 × 216)
    floor (0.418998718261719 × 65536)
    floor (27459.5)     		tx = 27459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109062194824219 × 216)
    floor (0.109062194824219 × 65536)
    floor (7147.5)     		ty = 7147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27459 / 7147 ti = "16/27459/7147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27459/7147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27459 ÷ 216
    27459 ÷ 65536     		x = 0.418991088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7147 ÷ 216
    7147 ÷ 65536     		y = 0.109054565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418991088867188 × 2 - 1) × π
    -0.162017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50899400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109054565429688 × 2 - 1) × π
    0.781890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45638261033092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50899400} λ = -0.50899400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45638261033092))-π/2
    2×atan(11.6625471650817)-π/2
    2×1.48526097759424-π/2
    2.97052195518849-1.57079632675     		φ = 1.39972563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50899400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.163208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39972563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.198371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27459 KachelY 7147 -0.50899400 1.39972563 -29.163208 80.198371
    Oben rechts KachelX + 1 27460 KachelY 7147 -0.50889813 1.39972563 -29.157715 80.198371
    Unten links KachelX 27459 KachelY + 1 7148 -0.50899400 1.39970931 -29.163208 80.197436
    Unten rechts KachelX + 1 27460 KachelY + 1 7148 -0.50889813 1.39970931 -29.157715 80.197436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39972563-1.39970931) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dl = 103.974720000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39972563-1.39970931) × R
    1.63200000000696e-05 × 6371000     		dr = 103.974720000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50899400--0.50889813) × cos(1.39972563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170237514341796 × 6371000     		do = 103.978991755166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50899400--0.50889813) × cos(1.39970931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170253596097048 × 6371000     		du = 103.988814294594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39972563)-sin(1.39970931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170237514341796-0.170253596097048)×R²
    abs(-0.50889813--0.50899400)×1.60817552517234e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60817552517234e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60817552517234e-05×40589641000000     		ar = 10811.6972016418m²