Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27459 / 11591
↖ ↑ ↗
← N 46.505955°
E121.673584°		 ← 840.83 m → N 46.505955°
E121.684570°		 →
↑
840.91 m
↓
↑
840.91 m
↓
N 46.498392°
E121.673584°		 ← 840.95 m →
707 109 m²		 N 46.498392°
E121.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837997436523438 y=0.353744506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837997436523438 × 215)
    floor (0.837997436523438 × 32768)
    floor (27459.5)     		tx = 27459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353744506835938 × 215)
    floor (0.353744506835938 × 32768)
    floor (11591.5)     		ty = 11591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27459 / 11591 ti = "15/27459/11591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27459/11591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27459 ÷ 215
    27459 ÷ 32768     		x = 0.837982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11591 ÷ 215
    11591 ÷ 32768     		y = 0.353729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837982177734375 × 2 - 1) × π
    0.67596435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.12360465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353729248046875 × 2 - 1) × π
    0.29254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.919046239515717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12360465} λ = 2.12360465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919046239515717))-π/2
    2×atan(2.5068982688554)-π/2
    2×1.19123917681682-π/2
    2.38247835363364-1.57079632675     		φ = 0.81168203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12360465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.673584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81168203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.505955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27459 KachelY 11591 2.12360465 0.81168203 121.673584 46.505955
    Oben rechts KachelX + 1 27460 KachelY 11591 2.12379640 0.81168203 121.684570 46.505955
    Unten links KachelX 27459 KachelY + 1 11592 2.12360465 0.81155004 121.673584 46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 27460 KachelY + 1 11592 2.12379640 0.81155004 121.684570 46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81168203-0.81155004) × R
    0.000131990000000082 × 6371000     		dl = 840.908290000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81168203-0.81155004) × R
    0.000131990000000082 × 6371000     		dr = 840.908290000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12360465-2.12379640) × cos(0.81168203) × R
    0.000191749999999935 × 0.688279185397458 × 6371000     		do = 840.828867839276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12360465-2.12379640) × cos(0.81155004) × R
    0.000191749999999935 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 840.945834433873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81168203)-sin(0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688279185397458-0.688374931006971)×R²
    abs(2.12379640-2.12360465)×9.57456095130871e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57456095130871e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57456095130871e-05×40589641000000     		ar = 707109.145554231m²