Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27458 / 11579
↖ ↑ ↗
← N 46.596619°
E121.662598°		 ← 839.38 m → N 46.596619°
E121.673584°		 →
↑
839.51 m
↓
↑
839.51 m
↓
N 46.589069°
E121.662598°		 ← 839.50 m →
704 716 m²		 N 46.589069°
E121.673584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837966918945312 y=0.353378295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837966918945312 × 215)
    floor (0.837966918945312 × 32768)
    floor (27458.5)     		tx = 27458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353378295898438 × 215)
    floor (0.353378295898438 × 32768)
    floor (11579.5)     		ty = 11579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27458 / 11579 ti = "15/27458/11579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27458/11579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27458 ÷ 215
    27458 ÷ 32768     		x = 0.83795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11579 ÷ 215
    11579 ÷ 32768     		y = 0.353363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83795166015625 × 2 - 1) × π
    0.6759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12341291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353363037109375 × 2 - 1) × π
    0.29327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.921347210697479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12341291} λ = 2.12341291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921347210697479))-π/2
    2×atan(2.5126732109674)-π/2
    2×1.19203037124767-π/2
    2.38406074249533-1.57079632675     		φ = 0.81326442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12341291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.662598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81326442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.596619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27458 KachelY 11579 2.12341291 0.81326442 121.662598 46.596619
    Oben rechts KachelX + 1 27459 KachelY 11579 2.12360465 0.81326442 121.673584 46.596619
    Unten links KachelX 27458 KachelY + 1 11580 2.12341291 0.81313265 121.662598 46.589069
    Unten rechts KachelX + 1 27459 KachelY + 1 11580 2.12360465 0.81313265 121.673584 46.589069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81326442-0.81313265) × R
    0.000131769999999976 × 6371000     		dl = 839.506669999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81326442-0.81313265) × R
    0.000131769999999976 × 6371000     		dr = 839.506669999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12341291-2.12360465) × cos(0.81326442) × R
    0.000191739999999996 × 0.687130385817928 × 6371000     		do = 839.381672105925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12341291-2.12360465) × cos(0.81313265) × R
    0.000191739999999996 × 0.687226115253693 × 6371000     		du = 839.498612843114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81326442)-sin(0.81313265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687130385817928-0.687226115253693)×R²
    abs(2.12360465-2.12341291)×9.57294357647465e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57294357647465e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57294357647465e-05×40589641000000     		ar = 704715.599692474m²