Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27456 / 6464
↖ ↑ ↗
← N 80.816891°
W 29.179687°		 ← 97.48 m → N 80.816891°
W 29.174194°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 80.816014°
W 29.179687°		 ← 97.48 m →
9 502 m²		 N 80.816014°
W 29.174194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418952941894531 y=0.0986404418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418952941894531 × 216)
    floor (0.418952941894531 × 65536)
    floor (27456.5)     		tx = 27456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986404418945312 × 216)
    floor (0.0986404418945312 × 65536)
    floor (6464.5)     		ty = 6464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27456 / 6464 ti = "16/27456/6464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27456/6464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27456 ÷ 216
    27456 ÷ 65536     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6464 ÷ 216
    6464 ÷ 65536     		y = 0.0986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986328125 × 2 - 1) × π
    0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52186441521191))-π/2
    2×atan(12.4517903428656)-π/2
    2×1.49065858198811-π/2
    2.98131716397622-1.57079632675     		φ = 1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27456 KachelY 6464 -0.50928162 1.41052084 -29.179687 80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 27457 KachelY 6464 -0.50918575 1.41052084 -29.174194 80.816891
    Unten links KachelX 27456 KachelY + 1 6465 -0.50928162 1.41050554 -29.179687 80.816014
    Unten rechts KachelX + 1 27457 KachelY + 1 6465 -0.50918575 1.41050554 -29.174194 80.816014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052084-1.41050554) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052084-1.41050554) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50918575) × cos(1.41052084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 97.4757232208281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50918575) × cos(1.41050554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159605272532036 × 6371000     		du = 97.4849484900824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052084)-sin(1.41050554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159605272532036)×R²
    abs(-0.50918575--0.50928162)×1.51038866647579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51038866647579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51038866647579e-05×40589641000000     		ar = 9502.02246187908m²