Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27456 / 11586
↖ ↑ ↗
← N 46.543750°
E121.640625°		 ← 840.24 m → N 46.543750°
E121.651611°		 →
↑
840.33 m
↓
↑
840.33 m
↓
N 46.536192°
E121.640625°		 ← 840.36 m →
706 136 m²		 N 46.536192°
E121.651611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837905883789062 y=0.353591918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837905883789062 × 215)
    floor (0.837905883789062 × 32768)
    floor (27456.5)     		tx = 27456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353591918945312 × 215)
    floor (0.353591918945312 × 32768)
    floor (11586.5)     		ty = 11586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27456 / 11586 ti = "15/27456/11586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27456/11586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27456 ÷ 215
    27456 ÷ 32768     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11586 ÷ 215
    11586 ÷ 32768     		y = 0.35357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35357666015625 × 2 - 1) × π
    0.2928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920004977508118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920004977508118))-π/2
    2×atan(2.50930287998067)-π/2
    2×1.1915690017842-π/2
    2.3831380035684-1.57079632675     		φ = 0.81234168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81234168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.543750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27456 KachelY 11586 2.12302941 0.81234168 121.640625 46.543750
    Oben rechts KachelX + 1 27457 KachelY 11586 2.12322116 0.81234168 121.651611 46.543750
    Unten links KachelX 27456 KachelY + 1 11587 2.12302941 0.81220978 121.640625 46.536192
    Unten rechts KachelX + 1 27457 KachelY + 1 11587 2.12322116 0.81220978 121.651611 46.536192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81234168-0.81220978) × R
    0.000131899999999963 × 6371000     		dl = 840.334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81234168-0.81220978) × R
    0.000131899999999963 × 6371000     		dr = 840.334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.12322116) × cos(0.81234168) × R
    0.000191749999999935 × 0.68780049529183 × 6371000     		do = 840.244081217655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.12322116) × cos(0.81220978) × R
    0.000191749999999935 × 0.687896235488408 × 6371000     		du = 840.361041199598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81234168)-sin(0.81220978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68780049529183-0.687896235488408)×R²
    abs(2.12322116-2.12302941)×9.574019657832e-05×R²
    0.000191749999999935×9.574019657832e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.574019657832e-05×40589641000000     		ar = 706135.569766953m²