Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27455 / 21521
↖ ↑ ↗
← N 52.425873°
W 29.185181°		 ← 372.49 m → N 52.425873°
W 29.179687°		 →
↑
372.45 m
↓
↑
372.45 m
↓
N 52.422523°
W 29.185181°		 ← 372.52 m →
138 738 m²		 N 52.422523°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418937683105469 y=0.328392028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418937683105469 × 216)
    floor (0.418937683105469 × 65536)
    floor (27455.5)     		tx = 27455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328392028808594 × 216)
    floor (0.328392028808594 × 65536)
    floor (21521.5)     		ty = 21521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27455 / 21521 ti = "16/27455/21521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27455/21521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27455 ÷ 216
    27455 ÷ 65536     		x = 0.418930053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21521 ÷ 216
    21521 ÷ 65536     		y = 0.328384399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418930053710938 × 2 - 1) × π
    -0.162139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50937750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328384399414062 × 2 - 1) × π
    0.343231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07829262005354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50937750} λ = -0.50937750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07829262005354))-π/2
    2×atan(2.93965615389542)-π/2
    2×1.24290020968965-π/2
    2.48580041937931-1.57079632675     		φ = 0.91500409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50937750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.185181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91500409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.425873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27455 KachelY 21521 -0.50937750 0.91500409 -29.185181 52.425873
    Oben rechts KachelX + 1 27456 KachelY 21521 -0.50928162 0.91500409 -29.179687 52.425873
    Unten links KachelX 27455 KachelY + 1 21522 -0.50937750 0.91494563 -29.185181 52.422523
    Unten rechts KachelX + 1 27456 KachelY + 1 21522 -0.50928162 0.91494563 -29.179687 52.422523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91500409-0.91494563) × R
    5.84600000000934e-05 × 6371000     		dl = 372.448660000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91500409-0.91494563) × R
    5.84600000000934e-05 × 6371000     		dr = 372.448660000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50937750--0.50928162) × cos(0.91500409) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.60978733384637 × 6371000     		do = 372.489495365496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50937750--0.50928162) × cos(0.91494563) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.609833666158977 × 6371000     		du = 372.517797527224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91500409)-sin(0.91494563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60978733384637-0.609833666158977)×R²
    abs(-0.50928162--0.50937750)×4.63323126077553e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63323126077553e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63323126077553e-05×40589641000000     		ar = 138738.484003614m²