Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27454 / 21522
↖ ↑ ↗
← N 52.422523°
W 29.190674°		 ← 372.48 m → N 52.422523°
W 29.185181°		 →
↑
372.51 m
↓
↑
372.51 m
↓
N 52.419173°
W 29.190674°		 ← 372.51 m →
138 758 m²		 N 52.419173°
W 29.185181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418922424316406 y=0.328407287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418922424316406 × 216)
    floor (0.418922424316406 × 65536)
    floor (27454.5)     		tx = 27454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328407287597656 × 216)
    floor (0.328407287597656 × 65536)
    floor (21522.5)     		ty = 21522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27454 / 21522 ti = "16/27454/21522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27454/21522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27454 ÷ 216
    27454 ÷ 65536     		x = 0.418914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21522 ÷ 216
    21522 ÷ 65536     		y = 0.328399658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.16217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50947337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328399658203125 × 2 - 1) × π
    0.34320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0781967462543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50947337} λ = -0.50947337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0781967462543))-π/2
    2×atan(2.9393743314014)-π/2
    2×1.24287097726494-π/2
    2.48574195452988-1.57079632675     		φ = 0.91494563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50947337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.190674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91494563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.422523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27454 KachelY 21522 -0.50947337 0.91494563 -29.190674 52.422523
    Oben rechts KachelX + 1 27455 KachelY 21522 -0.50937750 0.91494563 -29.185181 52.422523
    Unten links KachelX 27454 KachelY + 1 21523 -0.50947337 0.91488716 -29.190674 52.419173
    Unten rechts KachelX + 1 27455 KachelY + 1 21523 -0.50937750 0.91488716 -29.185181 52.419173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91494563-0.91488716) × R
    5.84699999999216e-05 × 6371000     		dl = 372.512369999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91494563-0.91488716) × R
    5.84699999999216e-05 × 6371000     		dr = 372.512369999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50947337--0.50937750) × cos(0.91494563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.609833666158977 × 6371000     		do = 372.478945024158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50947337--0.50937750) × cos(0.91488716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.609880004312373 × 6371000     		du = 372.507247801536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91494563)-sin(0.91488716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609833666158977-0.609880004312373)×R²
    abs(-0.50937750--0.50947337)×4.63381533952756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63381533952756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63381533952756e-05×40589641000000     		ar = 138758.286192571m²