Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27452 / 21265
↖ ↑ ↗
← N 53.275068°
W 29.201660°		 ← 365.27 m → N 53.275068°
W 29.196167°		 →
↑
365.25 m
↓
↑
365.25 m
↓
N 53.271783°
W 29.201660°		 ← 365.30 m →
133 421 m²		 N 53.271783°
W 29.196167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418891906738281 y=0.324485778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418891906738281 × 216)
    floor (0.418891906738281 × 65536)
    floor (27452.5)     		tx = 27452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324485778808594 × 216)
    floor (0.324485778808594 × 65536)
    floor (21265.5)     		ty = 21265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27452 / 21265 ti = "16/27452/21265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27452/21265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27452 ÷ 216
    27452 ÷ 65536     		x = 0.41888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21265 ÷ 216
    21265 ÷ 65536     		y = 0.324478149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324478149414062 × 2 - 1) × π
    0.351043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10283631265901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50966512} λ = -0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10283631265901))-π/2
    2×atan(3.01269887326387)-π/2
    2×1.2503108395689-π/2
    2.5006216791378-1.57079632675     		φ = 0.92982535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92982535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.275068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27452 KachelY 21265 -0.50966512 0.92982535 -29.201660 53.275068
    Oben rechts KachelX + 1 27453 KachelY 21265 -0.50956924 0.92982535 -29.196167 53.275068
    Unten links KachelX 27452 KachelY + 1 21266 -0.50966512 0.92976802 -29.201660 53.271783
    Unten rechts KachelX + 1 27453 KachelY + 1 21266 -0.50956924 0.92976802 -29.196167 53.271783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92982535-0.92976802) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dl = 365.249429999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92982535-0.92976802) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dr = 365.249429999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50966512--0.50956924) × cos(0.92982535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.59797397609151 × 6371000     		do = 365.273288296744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50966512--0.50956924) × cos(0.92976802) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598019925993382 × 6371000     		du = 365.301356862308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92982535)-sin(0.92976802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59797397609151-0.598019925993382)×R²
    abs(-0.50956924--0.50966512)×4.59499018725662e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59499018725662e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59499018725662e-05×40589641000000     		ar = 133420.986394693m²