Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27452 / 11580
↖ ↑ ↗
← N 46.589069°
E121.596680°		 ← 839.54 m → N 46.589069°
E121.607666°		 →
↑
839.57 m
↓
↑
839.57 m
↓
N 46.581519°
E121.596680°		 ← 839.66 m →
704 904 m²		 N 46.581519°
E121.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837783813476562 y=0.353408813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837783813476562 × 215)
    floor (0.837783813476562 × 32768)
    floor (27452.5)     		tx = 27452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353408813476562 × 215)
    floor (0.353408813476562 × 32768)
    floor (11580.5)     		ty = 11580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27452 / 11580 ti = "15/27452/11580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27452/11580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27452 ÷ 215
    27452 ÷ 32768     		x = 0.8377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11580 ÷ 215
    11580 ÷ 32768     		y = 0.3533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8377685546875 × 2 - 1) × π
    0.675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.12226242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3533935546875 × 2 - 1) × π
    0.293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.921155463098999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12226242} λ = 2.12226242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921155463098999))-π/2
    2×atan(2.51219145810238)-π/2
    2×1.19196448885793-π/2
    2.38392897771585-1.57079632675     		φ = 0.81313265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12226242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81313265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.589069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27452 KachelY 11580 2.12226242 0.81313265 121.596680 46.589069
    Oben rechts KachelX + 1 27453 KachelY 11580 2.12245417 0.81313265 121.607666 46.589069
    Unten links KachelX 27452 KachelY + 1 11581 2.12226242 0.81300087 121.596680 46.581519
    Unten rechts KachelX + 1 27453 KachelY + 1 11581 2.12245417 0.81300087 121.607666 46.581519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81313265-0.81300087) × R
    0.000131780000000026 × 6371000     		dl = 839.570380000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81313265-0.81300087) × R
    0.000131780000000026 × 6371000     		dr = 839.570380000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12226242-2.12245417) × cos(0.81313265) × R
    0.000191749999999935 × 0.687226115253693 × 6371000     		do = 839.54239601865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12226242-2.12245417) × cos(0.81300087) × R
    0.000191749999999935 × 0.687321840020452 × 6371000     		du = 839.65933715092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81313265)-sin(0.81300087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687226115253693-0.687321840020452)×R²
    abs(2.12245417-2.12226242)×9.57247667590089e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57247667590089e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57247667590089e-05×40589641000000     		ar = 704904.019627283m²