Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27451 / 8877
↖ ↑ ↗
← N 78.441125°
W 29.207153°		 ← 122.39 m → N 78.441125°
W 29.201660°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 78.440024°
W 29.207153°		 ← 122.40 m →
14 979 m²		 N 78.440024°
W 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418876647949219 y=0.135459899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418876647949219 × 216)
    floor (0.418876647949219 × 65536)
    floor (27451.5)     		tx = 27451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135459899902344 × 216)
    floor (0.135459899902344 × 65536)
    floor (8877.5)     		ty = 8877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27451 / 8877 ti = "16/27451/8877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27451/8877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27451 ÷ 216
    27451 ÷ 65536     		x = 0.418869018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8877 ÷ 216
    8877 ÷ 65536     		y = 0.135452270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418869018554688 × 2 - 1) × π
    -0.162261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50976099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135452270507812 × 2 - 1) × π
    0.729095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29052093764552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50976099} λ = -0.50976099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29052093764552))-π/2
    2×atan(9.88008324810189)-π/2
    2×1.46992611424449-π/2
    2.93985222848899-1.57079632675     		φ = 1.36905590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50976099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.207153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36905590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.441125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27451 KachelY 8877 -0.50976099 1.36905590 -29.207153 78.441125
    Oben rechts KachelX + 1 27452 KachelY 8877 -0.50966512 1.36905590 -29.201660 78.441125
    Unten links KachelX 27451 KachelY + 1 8878 -0.50976099 1.36903669 -29.207153 78.440024
    Unten rechts KachelX + 1 27452 KachelY + 1 8878 -0.50966512 1.36903669 -29.201660 78.440024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36905590-1.36903669) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36905590-1.36903669) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50976099--0.50966512) × cos(1.36905590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200374763173672 × 6371000     		do = 122.386454763122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50976099--0.50966512) × cos(1.36903669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200393583544918 × 6371000     		du = 122.397950015706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36905590)-sin(1.36903669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200374763173672-0.200393583544918)×R²
    abs(-0.50966512--0.50976099)×1.88203712459256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88203712459256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88203712459256e-05×40589641000000     		ar = 14979.2034593606m²