Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27449 / 21592
↖ ↑ ↗
← N 52.187405°
W 29.218140°		 ← 374.50 m → N 52.187405°
W 29.212646°		 →
↑
374.49 m
↓
↑
374.49 m
↓
N 52.184037°
W 29.218140°		 ← 374.53 m →
140 251 m²		 N 52.184037°
W 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418846130371094 y=0.329475402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418846130371094 × 216)
    floor (0.418846130371094 × 65536)
    floor (27449.5)     		tx = 27449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329475402832031 × 216)
    floor (0.329475402832031 × 65536)
    floor (21592.5)     		ty = 21592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27449 / 21592 ti = "16/27449/21592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27449/21592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27449 ÷ 216
    27449 ÷ 65536     		x = 0.418838500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21592 ÷ 216
    21592 ÷ 65536     		y = 0.3294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418838500976562 × 2 - 1) × π
    -0.162322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50995274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3294677734375 × 2 - 1) × π
    0.341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0714855803075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50995274} λ = -0.50995274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0714855803075))-π/2
    2×atan(2.91971374899141)-π/2
    2×1.24081918382887-π/2
    2.48163836765775-1.57079632675     		φ = 0.91084204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50995274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.218140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91084204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27449 KachelY 21592 -0.50995274 0.91084204 -29.218140 52.187405
    Oben rechts KachelX + 1 27450 KachelY 21592 -0.50985686 0.91084204 -29.212646 52.187405
    Unten links KachelX 27449 KachelY + 1 21593 -0.50995274 0.91078326 -29.218140 52.184037
    Unten rechts KachelX + 1 27450 KachelY + 1 21593 -0.50985686 0.91078326 -29.212646 52.184037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91084204-0.91078326) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dl = 374.48738000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91084204-0.91078326) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dr = 374.48738000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50995274--0.50985686) × cos(0.91084204) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.613080738255924 × 6371000     		do = 374.501276323312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50995274--0.50985686) × cos(0.91078326) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.61312717458755 × 6371000     		du = 374.529642025212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91084204)-sin(0.91078326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613080738255924-0.61312717458755)×R²
    abs(-0.50985686--0.50995274)×4.64363316267091e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.64363316267091e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.64363316267091e-05×40589641000000     		ar = 140251.3131161m²