Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27448 / 8387
↖ ↑ ↗
← N 78.968233°
W 29.223633°		 ← 116.88 m → N 78.968233°
W 29.218140°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
N 78.967182°
W 29.223633°		 ← 116.89 m →
13 664 m²		 N 78.967182°
W 29.218140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418830871582031 y=0.127983093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418830871582031 × 216)
    floor (0.418830871582031 × 65536)
    floor (27448.5)     		tx = 27448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127983093261719 × 216)
    floor (0.127983093261719 × 65536)
    floor (8387.5)     		ty = 8387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27448 / 8387 ti = "16/27448/8387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27448/8387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27448 ÷ 216
    27448 ÷ 65536     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8387 ÷ 216
    8387 ÷ 65536     		y = 0.127975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127975463867188 × 2 - 1) × π
    0.744049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33749909927318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33749909927318))-π/2
    2×atan(10.3553065583651)-π/2
    2×1.47452599828989-π/2
    2.94905199657978-1.57079632675     		φ = 1.37825567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37825567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.968233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27448 KachelY 8387 -0.51004861 1.37825567 -29.223633 78.968233
    Oben rechts KachelX + 1 27449 KachelY 8387 -0.50995274 1.37825567 -29.218140 78.968233
    Unten links KachelX 27448 KachelY + 1 8388 -0.51004861 1.37823732 -29.223633 78.967182
    Unten rechts KachelX + 1 27449 KachelY + 1 8388 -0.50995274 1.37823732 -29.218140 78.967182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37825567-1.37823732) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37825567-1.37823732) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.50995274) × cos(1.37825567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191353218489159 × 6371000     		do = 116.876205603314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.50995274) × cos(1.37823732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191371229371707 × 6371000     		du = 116.887206430101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37825567)-sin(1.37823732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191353218489159-0.191371229371707)×R²
    abs(-0.50995274--0.51004861)×1.80108825477143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80108825477143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80108825477143e-05×40589641000000     		ar = 13664.3889551073m²