Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27448 / 21529
↖ ↑ ↗
← N 52.399067°
W 29.223633°		 ← 372.68 m → N 52.399067°
W 29.218140°		 →
↑
372.70 m
↓
↑
372.70 m
↓
N 52.395716°
W 29.223633°		 ← 372.71 m →
138 903 m²		 N 52.395716°
W 29.218140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418830871582031 y=0.328514099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418830871582031 × 216)
    floor (0.418830871582031 × 65536)
    floor (27448.5)     		tx = 27448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328514099121094 × 216)
    floor (0.328514099121094 × 65536)
    floor (21529.5)     		ty = 21529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27448 / 21529 ti = "16/27448/21529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27448/21529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27448 ÷ 216
    27448 ÷ 65536     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21529 ÷ 216
    21529 ÷ 65536     		y = 0.328506469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328506469726562 × 2 - 1) × π
    0.342987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07752562965962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07752562965962))-π/2
    2×atan(2.93740233030496)-π/2
    2×1.2426662880932-π/2
    2.4853325761864-1.57079632675     		φ = 0.91453625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91453625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.399067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27448 KachelY 21529 -0.51004861 0.91453625 -29.223633 52.399067
    Oben rechts KachelX + 1 27449 KachelY 21529 -0.50995274 0.91453625 -29.218140 52.399067
    Unten links KachelX 27448 KachelY + 1 21530 -0.51004861 0.91447775 -29.223633 52.395716
    Unten rechts KachelX + 1 27449 KachelY + 1 21530 -0.50995274 0.91447775 -29.218140 52.395716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91453625-0.91447775) × R
    5.85000000000724e-05 × 6371000     		dl = 372.703500000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91453625-0.91447775) × R
    5.85000000000724e-05 × 6371000     		dr = 372.703500000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.50995274) × cos(0.91453625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610158060746921 × 6371000     		do = 372.677081271128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.50995274) × cos(0.91447775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610204408065948 × 6371000     		du = 372.705389646762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91453625)-sin(0.91447775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610158060746921-0.610204408065948)×R²
    abs(-0.50995274--0.51004861)×4.63473190267516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63473190267516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63473190267516e-05×40589641000000     		ar = 138903.327914857m²