Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27447 / 8273
↖ ↑ ↗
← N 79.087422°
W 29.229126°		 ← 115.64 m → N 79.087422°
W 29.223633°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
N 79.086382°
W 29.229126°		 ← 115.65 m →
13 373 m²		 N 79.086382°
W 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418815612792969 y=0.126243591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418815612792969 × 216)
    floor (0.418815612792969 × 65536)
    floor (27447.5)     		tx = 27447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126243591308594 × 216)
    floor (0.126243591308594 × 65536)
    floor (8273.5)     		ty = 8273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27447 / 8273 ti = "16/27447/8273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27447/8273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27447 ÷ 216
    27447 ÷ 65536     		x = 0.418807983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8273 ÷ 216
    8273 ÷ 65536     		y = 0.126235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418807983398438 × 2 - 1) × π
    -0.162384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51014449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126235961914062 × 2 - 1) × π
    0.747528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34842871238655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51014449} λ = -0.51014449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34842871238655))-π/2
    2×atan(10.4691068162684)-π/2
    2×1.47556611687023-π/2
    2.95113223374046-1.57079632675     		φ = 1.38033591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51014449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.229126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38033591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.087422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27447 KachelY 8273 -0.51014449 1.38033591 -29.229126 79.087422
    Oben rechts KachelX + 1 27448 KachelY 8273 -0.51004861 1.38033591 -29.223633 79.087422
    Unten links KachelX 27447 KachelY + 1 8274 -0.51014449 1.38031776 -29.229126 79.086382
    Unten rechts KachelX + 1 27448 KachelY + 1 8274 -0.51004861 1.38031776 -29.223633 79.086382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38033591-1.38031776) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38033591-1.38031776) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51014449--0.51004861) × cos(1.38033591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189311006185538 × 6371000     		do = 115.640908308649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51014449--0.51004861) × cos(1.38031776) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189328827951122 × 6371000     		du = 115.651794760532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38033591)-sin(1.38031776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189311006185538-0.189328827951122)×R²
    abs(-0.51004861--0.51014449)×1.78217655841251e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78217655841251e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78217655841251e-05×40589641000000     		ar = 13372.6097375393m²