Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27447 / 21523
↖ ↑ ↗
← N 52.419173°
W 29.229126°		 ← 372.55 m → N 52.419173°
W 29.223633°		 →
↑
372.58 m
↓
↑
372.58 m
↓
N 52.415822°
W 29.229126°		 ← 372.57 m →
138 807 m²		 N 52.415822°
W 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418815612792969 y=0.328422546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418815612792969 × 216)
    floor (0.418815612792969 × 65536)
    floor (27447.5)     		tx = 27447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328422546386719 × 216)
    floor (0.328422546386719 × 65536)
    floor (21523.5)     		ty = 21523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27447 / 21523 ti = "16/27447/21523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27447/21523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27447 ÷ 216
    27447 ÷ 65536     		x = 0.418807983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21523 ÷ 216
    21523 ÷ 65536     		y = 0.328414916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418807983398438 × 2 - 1) × π
    -0.162384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51014449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328414916992188 × 2 - 1) × π
    0.343170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07810087245506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51014449} λ = -0.51014449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07810087245506))-π/2
    2×atan(2.93909253592547)-π/2
    2×1.24284174261898-π/2
    2.48568348523796-1.57079632675     		φ = 0.91488716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51014449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.229126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91488716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.419173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27447 KachelY 21523 -0.51014449 0.91488716 -29.229126 52.419173
    Oben rechts KachelX + 1 27448 KachelY 21523 -0.51004861 0.91488716 -29.223633 52.419173
    Unten links KachelX 27447 KachelY + 1 21524 -0.51014449 0.91482868 -29.229126 52.415822
    Unten rechts KachelX + 1 27448 KachelY + 1 21524 -0.51004861 0.91482868 -29.223633 52.415822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91488716-0.91482868) × R
    5.84800000000829e-05 × 6371000     		dl = 372.576080000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91488716-0.91482868) × R
    5.84800000000829e-05 × 6371000     		dr = 372.576080000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51014449--0.51004861) × cos(0.91488716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.609880004312373 × 6371000     		do = 372.546103256375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51014449--0.51004861) × cos(0.91482868) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.609926348305327 × 6371000     		du = 372.57441255306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91488716)-sin(0.91482868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609880004312373-0.609926348305327)×R²
    abs(-0.51004861--0.51014449)×4.63439929547782e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.63439929547782e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.63439929547782e-05×40589641000000     		ar = 138807.040493929m²