Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27445 / 6413
↖ ↑ ↗
← N 80.861492°
W 29.240112°		 ← 97.01 m → N 80.861492°
W 29.234619°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
N 80.860620°
W 29.240112°		 ← 97.02 m →
9 407 m²		 N 80.860620°
W 29.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418785095214844 y=0.0978622436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418785095214844 × 216)
    floor (0.418785095214844 × 65536)
    floor (27445.5)     		tx = 27445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978622436523438 × 216)
    floor (0.0978622436523438 × 65536)
    floor (6413.5)     		ty = 6413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27445 / 6413 ti = "16/27445/6413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27445/6413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27445 ÷ 216
    27445 ÷ 65536     		x = 0.418777465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6413 ÷ 216
    6413 ÷ 65536     		y = 0.0978546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418777465820312 × 2 - 1) × π
    -0.162445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51033623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0978546142578125 × 2 - 1) × π
    0.804290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52675397897316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51033623} λ = -0.51033623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52675397897316))-π/2
    2×atan(12.5128232562524)-π/2
    2×1.49104780498293-π/2
    2.98209560996587-1.57079632675     		φ = 1.41129928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51033623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.240112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41129928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.861492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27445 KachelY 6413 -0.51033623 1.41129928 -29.240112 80.861492
    Oben rechts KachelX + 1 27446 KachelY 6413 -0.51024036 1.41129928 -29.234619 80.861492
    Unten links KachelX 27445 KachelY + 1 6414 -0.51033623 1.41128406 -29.240112 80.860620
    Unten rechts KachelX + 1 27446 KachelY + 1 6414 -0.51024036 1.41128406 -29.234619 80.860620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41129928-1.41128406) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dl = 96.966619999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41129928-1.41128406) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dr = 96.966619999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51033623--0.51024036) × cos(1.41129928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158821657358121 × 6371000     		do = 97.0063259254685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51033623--0.51024036) × cos(1.41128406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15883668415665 × 6371000     		du = 97.0155041102323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41129928)-sin(1.41128406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158821657358121-0.15883668415665)×R²
    abs(-0.51024036--0.51033623)×1.50267985289387e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50267985289387e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50267985289387e-05×40589641000000     		ar = 9406.82053255206m²