Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27444 / 8817
↖ ↑ ↗
← N 78.506981°
W 29.245606°		 ← 121.71 m → N 78.506981°
W 29.240112°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
N 78.505886°
W 29.245606°		 ← 121.72 m →
14 811 m²		 N 78.505886°
W 29.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418769836425781 y=0.134544372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418769836425781 × 216)
    floor (0.418769836425781 × 65536)
    floor (27444.5)     		tx = 27444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134544372558594 × 216)
    floor (0.134544372558594 × 65536)
    floor (8817.5)     		ty = 8817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27444 / 8817 ti = "16/27444/8817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27444/8817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27444 ÷ 216
    27444 ÷ 65536     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8817 ÷ 216
    8817 ÷ 65536     		y = 0.134536743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134536743164062 × 2 - 1) × π
    0.730926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29627336559993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29627336559993))-π/2
    2×atan(9.93708149715613)-π/2
    2×1.47050081385012-π/2
    2.94100162770024-1.57079632675     		φ = 1.37020530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37020530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.506981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27444 KachelY 8817 -0.51043211 1.37020530 -29.245606 78.506981
    Oben rechts KachelX + 1 27445 KachelY 8817 -0.51033623 1.37020530 -29.240112 78.506981
    Unten links KachelX 27444 KachelY + 1 8818 -0.51043211 1.37018620 -29.245606 78.505886
    Unten rechts KachelX + 1 27445 KachelY + 1 8818 -0.51033623 1.37018620 -29.240112 78.505886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37020530-1.37018620) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dl = 121.686100000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37020530-1.37018620) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dr = 121.686100000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51033623) × cos(1.37020530) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.199248541670769 × 6371000     		do = 121.711266567492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51033623) × cos(1.37018620) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.19926725866009 × 6371000     		du = 121.72269986812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37020530)-sin(1.37018620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199248541670769-0.19926725866009)×R²
    abs(-0.51033623--0.51043211)×1.87169893214878e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.87169893214878e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.87169893214878e-05×40589641000000     		ar = 14811.2649921702m²