Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27444 / 21524
↖ ↑ ↗
← N 52.415822°
W 29.245606°		 ← 372.57 m → N 52.415822°
W 29.240112°		 →
↑
372.51 m
↓
↑
372.51 m
↓
N 52.412472°
W 29.245606°		 ← 372.60 m →
138 794 m²		 N 52.412472°
W 29.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418769836425781 y=0.328437805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418769836425781 × 216)
    floor (0.418769836425781 × 65536)
    floor (27444.5)     		tx = 27444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328437805175781 × 216)
    floor (0.328437805175781 × 65536)
    floor (21524.5)     		ty = 21524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27444 / 21524 ti = "16/27444/21524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27444/21524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27444 ÷ 216
    27444 ÷ 65536     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21524 ÷ 216
    21524 ÷ 65536     		y = 0.32843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32843017578125 × 2 - 1) × π
    0.3431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07800499865582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07800499865582))-π/2
    2×atan(2.93881076746506)-π/2
    2×1.2428125057517-π/2
    2.48562501150341-1.57079632675     		φ = 0.91482868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91482868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.415822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27444 KachelY 21524 -0.51043211 0.91482868 -29.245606 52.415822
    Oben rechts KachelX + 1 27445 KachelY 21524 -0.51033623 0.91482868 -29.240112 52.415822
    Unten links KachelX 27444 KachelY + 1 21525 -0.51043211 0.91477021 -29.245606 52.412472
    Unten rechts KachelX + 1 27445 KachelY + 1 21525 -0.51033623 0.91477021 -29.240112 52.412472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91482868-0.91477021) × R
    5.84699999999216e-05 × 6371000     		dl = 372.512369999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91482868-0.91477021) × R
    5.84699999999216e-05 × 6371000     		dr = 372.512369999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51033623) × cos(0.91482868) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.609926348305327 × 6371000     		do = 372.574412553492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51033623) × cos(0.91477021) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.609972682288164 × 6371000     		du = 372.602715735482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91482868)-sin(0.91477021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609926348305327-0.609972682288164)×R²
    abs(-0.51033623--0.51043211)×4.63339828368214e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63339828368214e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63339828368214e-05×40589641000000     		ar = 138793.84910384m²