Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27444 / 21339
↖ ↑ ↗
← N 53.031304°
W 29.245606°		 ← 367.35 m → N 53.031304°
W 29.240112°		 →
↑
367.35 m
↓
↑
367.35 m
↓
N 53.028000°
W 29.245606°		 ← 367.38 m →
134 953 m²		 N 53.028000°
W 29.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418769836425781 y=0.325614929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418769836425781 × 216)
    floor (0.418769836425781 × 65536)
    floor (27444.5)     		tx = 27444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325614929199219 × 216)
    floor (0.325614929199219 × 65536)
    floor (21339.5)     		ty = 21339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27444 / 21339 ti = "16/27444/21339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27444/21339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27444 ÷ 216
    27444 ÷ 65536     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21339 ÷ 216
    21339 ÷ 65536     		y = 0.325607299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325607299804688 × 2 - 1) × π
    0.348785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09574165151524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09574165151524))-π/2
    2×atan(2.99140043755855)-π/2
    2×1.24818359205509-π/2
    2.49636718411017-1.57079632675     		φ = 0.92557086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92557086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.031304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27444 KachelY 21339 -0.51043211 0.92557086 -29.245606 53.031304
    Oben rechts KachelX + 1 27445 KachelY 21339 -0.51033623 0.92557086 -29.240112 53.031304
    Unten links KachelX 27444 KachelY + 1 21340 -0.51043211 0.92551320 -29.245606 53.028000
    Unten rechts KachelX + 1 27445 KachelY + 1 21340 -0.51033623 0.92551320 -29.240112 53.028000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92557086-0.92551320) × R
    5.76599999999594e-05 × 6371000     		dl = 367.351859999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92557086-0.92551320) × R
    5.76599999999594e-05 × 6371000     		dr = 367.351859999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51033623) × cos(0.92557086) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601378593694726 × 6371000     		do = 367.353003998926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51033623) × cos(0.92551320) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601424660970567 × 6371000     		du = 367.381144262554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92557086)-sin(0.92551320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601378593694726-0.601424660970567)×R²
    abs(-0.51033623--0.51043211)×4.60672758415548e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.60672758415548e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.60672758415548e-05×40589641000000     		ar = 134952.978022196m²