Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27443 / 8315
↖ ↑ ↗
← N 79.043659°
W 29.251099°		 ← 116.09 m → N 79.043659°
W 29.245606°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
N 79.042615°
W 29.251099°		 ← 116.10 m →
13 476 m²		 N 79.042615°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418754577636719 y=0.126884460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418754577636719 × 216)
    floor (0.418754577636719 × 65536)
    floor (27443.5)     		tx = 27443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126884460449219 × 216)
    floor (0.126884460449219 × 65536)
    floor (8315.5)     		ty = 8315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27443 / 8315 ti = "16/27443/8315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27443/8315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27443 ÷ 216
    27443 ÷ 65536     		x = 0.418746948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8315 ÷ 216
    8315 ÷ 65536     		y = 0.126876831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418746948242188 × 2 - 1) × π
    -0.162506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51052798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126876831054688 × 2 - 1) × π
    0.746246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34440201281847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51052798} λ = -0.51052798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34440201281847))-π/2
    2×atan(10.4270356292347)-π/2
    2×1.47518421312349-π/2
    2.95036842624698-1.57079632675     		φ = 1.37957210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51052798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.251099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37957210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.043659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27443 KachelY 8315 -0.51052798 1.37957210 -29.251099 79.043659
    Oben rechts KachelX + 1 27444 KachelY 8315 -0.51043211 1.37957210 -29.245606 79.043659
    Unten links KachelX 27443 KachelY + 1 8316 -0.51052798 1.37955388 -29.251099 79.042615
    Unten rechts KachelX + 1 27444 KachelY + 1 8316 -0.51043211 1.37955388 -29.245606 79.042615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37957210-1.37955388) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37957210-1.37955388) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51052798--0.51043211) × cos(1.37957210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190060949049193 × 6371000     		do = 116.086903233837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51052798--0.51043211) × cos(1.37955388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190078836908826 × 6371000     		du = 116.097828919733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37957210)-sin(1.37955388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190060949049193-0.190078836908826)×R²
    abs(-0.51043211--0.51052798)×1.78878596336363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78878596336363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78878596336363e-05×40589641000000     		ar = 13475.9577396766m²