Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27443 / 21543
↖ ↑ ↗
← N 52.352119°
W 29.251099°		 ← 373.07 m → N 52.352119°
W 29.245606°		 →
↑
373.09 m
↓
↑
373.09 m
↓
N 52.348763°
W 29.251099°		 ← 373.10 m →
139 194 m²		 N 52.348763°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418754577636719 y=0.328727722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418754577636719 × 216)
    floor (0.418754577636719 × 65536)
    floor (27443.5)     		tx = 27443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328727722167969 × 216)
    floor (0.328727722167969 × 65536)
    floor (21543.5)     		ty = 21543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27443 / 21543 ti = "16/27443/21543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27443/21543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27443 ÷ 216
    27443 ÷ 65536     		x = 0.418746948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21543 ÷ 216
    21543 ÷ 65536     		y = 0.328720092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418746948242188 × 2 - 1) × π
    -0.162506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51052798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328720092773438 × 2 - 1) × π
    0.342559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07618339647026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51052798} λ = -0.51052798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07618339647026))-π/2
    2×atan(2.9334622962205)-π/2
    2×1.24225658313228-π/2
    2.48451316626456-1.57079632675     		φ = 0.91371684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51052798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.251099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91371684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.352119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27443 KachelY 21543 -0.51052798 0.91371684 -29.251099 52.352119
    Oben rechts KachelX + 1 27444 KachelY 21543 -0.51043211 0.91371684 -29.245606 52.352119
    Unten links KachelX 27443 KachelY + 1 21544 -0.51052798 0.91365828 -29.251099 52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 27444 KachelY + 1 21544 -0.51043211 0.91365828 -29.245606 52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91371684-0.91365828) × R
    5.85599999999298e-05 × 6371000     		dl = 373.085759999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91371684-0.91365828) × R
    5.85599999999298e-05 × 6371000     		dr = 373.085759999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51052798--0.51043211) × cos(0.91371684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610807057752451 × 6371000     		do = 373.073480704873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51052798--0.51043211) × cos(0.91365828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 373.101800221113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91371684)-sin(0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610807057752451-0.610853423311212)×R²
    abs(-0.51043211--0.51052798)×4.6365558760475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6365558760475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6365558760475e-05×40589641000000     		ar = 139193.685928577m²