Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27443 / 21351
↖ ↑ ↗
← N 52.991644°
W 29.251099°		 ← 367.65 m → N 52.991644°
W 29.245606°		 →
↑
367.67 m
↓
↑
367.67 m
↓
N 52.988337°
W 29.251099°		 ← 367.68 m →
135 180 m²		 N 52.988337°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418754577636719 y=0.325798034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418754577636719 × 216)
    floor (0.418754577636719 × 65536)
    floor (27443.5)     		tx = 27443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325798034667969 × 216)
    floor (0.325798034667969 × 65536)
    floor (21351.5)     		ty = 21351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27443 / 21351 ti = "16/27443/21351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27443/21351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27443 ÷ 216
    27443 ÷ 65536     		x = 0.418746948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21351 ÷ 216
    21351 ÷ 65536     		y = 0.325790405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418746948242188 × 2 - 1) × π
    -0.162506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51052798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325790405273438 × 2 - 1) × π
    0.348419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09459116592436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51052798} λ = -0.51052798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09459116592436))-π/2
    2×atan(2.98796085343397)-π/2
    2×1.24783749433653-π/2
    2.49567498867305-1.57079632675     		φ = 0.92487866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51052798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.251099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92487866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.991644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27443 KachelY 21351 -0.51052798 0.92487866 -29.251099 52.991644
    Oben rechts KachelX + 1 27444 KachelY 21351 -0.51043211 0.92487866 -29.245606 52.991644
    Unten links KachelX 27443 KachelY + 1 21352 -0.51052798 0.92482095 -29.251099 52.988337
    Unten rechts KachelX + 1 27444 KachelY + 1 21352 -0.51043211 0.92482095 -29.245606 52.988337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92487866-0.92482095) × R
    5.77099999999886e-05 × 6371000     		dl = 367.670409999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92487866-0.92482095) × R
    5.77099999999886e-05 × 6371000     		dr = 367.670409999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51052798--0.51043211) × cos(0.92487866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601931492594757 × 6371000     		do = 367.652394054715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51052798--0.51043211) × cos(0.92482095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601977575781921 × 6371000     		du = 367.680541101837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92487866)-sin(0.92482095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601931492594757-0.601977575781921)×R²
    abs(-0.51043211--0.51052798)×4.60831871640366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60831871640366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60831871640366e-05×40589641000000     		ar = 135180.080915304m²